最长递减子序列问题

给定一个整数数组，找到其中最长的子数组，其第一个元素大于或等于最后一个元素。

解法

这个问题可以通过动态规划来解决。我们假设 $dp_i$ 表示以 $i$ 结尾的最长递减子序列的长度。对于每个 $i$，我们可以根据其前面所有的小于等于它的数字来计算 $dp_i$。也就是说：

$$ dp_i=\max_{j<i,A_j\ge A_i}(dp_j)+1 $$

其中 $A$ 表示输入的整数数组。最终的答案是所有 $dp_i$ 中的最大值。

代码实现

下面是 Python 代码的实现：

def find_longest_decreasing_subarray(nums):
    n = len(nums)
    dp = [1] * n
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if nums[j] >= nums[i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    return max(dp)

nums = [8, 4, 6, 3, 9, 7, 10, 2, 5]
print(find_longest_decreasing_subarray(nums))

时间复杂度为 $\mathcal{O}(n^2)$，空间复杂度为 $\mathcal{O}(n)$。可以用二分查找来优化时间复杂度，使其变为 $\mathcal{O}(n\log n)$。