用二进制表示形成回文的子序列计数

什么是回文？

回文是指正读和反读都一样的字符序列，例如“racecar”和“level”。

什么是二进制？

二进制是一种计数系统，只使用0和1两个数字来表示数值。在计算机科学中，二进制常用来表示数字和字符。

什么是二进制表示的回文？

在二进制中，如果一个数的二进制表示从左到右和从右到左都一样，那么这个数就是二进制表示的回文。例如，二进制数“101101”就是一个二进制表示的回文。

如何用二进制表示形成回文的子序列计数？

假设有一个由0和1组成的长度为n的字符串，我们可以将这个字符串看作一个由n个二进制位组成的二进制数。我们需要找到所有可能的二进制表示的回文，并计算出它们所包含的子序列数量。

我们可以将问题分解为两个部分：

1. 找到所有的二进制表示的回文。
2. 计算每个回文串中包含的子序列数量。

对于第一部分，我们可以使用位运算和二进制表示的回文特性来找到所有的回文串。具体来说，我们可以考虑从字符串的中心向两端扩展，如果发现左右两个位置表示的二进制位相同，则继续扩展；如果不同，则停止扩展。例如，假设字符串为“101101”，我们可以从位置2开始，即“1(0)1”，向左右两端扩展，发现回文串为“(101)101”。因为回文串可能有奇数和偶数两种长度，所以需要分别从每个位置开始扩展，才能找到所有的回文串。

对于第二部分，我们可以考虑回文串中每个位置上的二进制位，它可以取0或1两个值。因此，如果回文串的长度为m，那么它所包含的子序列数量就是2^m。

因此，我们可以将两个部分合并起来，用一段程序来计算二进制表示形成回文的子序列数量：

def count_palindrome_subsequences(s: str) -> int:
    n = len(s)
    ans = 0
    for i in range(n):
        l, r = i, i
        while l >= 0 and r < n and s[l] == s[r]:
            ans += 2 ** (r - l)
            l -= 1
            r += 1
        l, r = i, i + 1
        while l >= 0 and r < n and s[l] == s[r]:
            ans += 2 ** (r - l)
            l -= 1
            r += 1
    return ans

其中，变量ans用来记录总的子序列数量，对于每个回文串，我们将它所包含的子序列数量加到ans中。具体来说，如果回文串的长度为m，则它包含的子序列数量为2^m，因为每个位置上的二进制位可以取0或1两个值，所以一共有2^m种不同的子序列。

在上述程序中，我们先以每个位置为中心，从左右两端扩展，找到所有可能的奇数长度回文串；再以每个位置为左端点，以下一个位置为右端点，找到所有可能的偶数长度回文串。对于每个回文串，都将它所包含的子序列数量加到ans中。最终，返回ans作为结果。

总结

通过将字符串看作一个由二进制位组成的二进制数，我们可以找到所有可能的二进制表示的回文串，并计算出它们所包含的子序列数量。这对于一些需要统计特定类型子序列数量的问题可能会有用。