求 tan 31π/3 的值

在数学中，正切(Tangent)是一个三角函数，它表示一个角的正切值，即斜边与相邻直角边的比值。在三角函数周期为 π 时，求解 tan 31π/3 的值可以通过以下步骤进行：

1. 将 31π/3 化简为一个不多于 π 的最简分数。

   31π/3 = 10π + π/3

   π ≈ 3.14159，则：

   10π ≈ 31.41593， π/3 ≈ 1.04720

   因此，31π/3 = 31.41593 + 1.04720 = 32.46313

2. 判断所求角度的附角类型。

   由于 32.46313 超过了 π 的范围，所以需要通过减去 π 的整数倍来将其转化为一个不多于 π 的角。因为 tan(π/2 + θ) = -cot(θ)，所以可以得到：

   tan [32.46313 - π] = -cot 0.53687

   由于 0.53687 < π/2，所以 -cot(0.53687) = -1/tan(0.53687)

3. 计算所求角度的正切值。

   对于一个任意角 θ，它的正切值可以表示为：

   tan θ = sin θ / cos θ

   由三倍角公式，可以将 tan (3x) 表示为：

   tan 3x = (3 tan x - tan^3 x) / (1 - 3 tan^2 x)

   将其中的 x 替换为 0.53687 可得：

   tan 1.61060 = (3 tan 0.53687 - tan^3 0.53687) / (1 - 3 tan^2 0.53687)

   因此，tan 31π/3 ≈ 1.44955

相关的 Python 代码如下（已经将角度转化为弧度）：

import math

# 将 31π/3 化为一个不多于 π 的角
x = 31 * math.pi / 3
if x > math.pi:
    x -= math.pi

# 计算所求角度的正切值
y = math.tan(3*x) / (3 - math.tan(x)**2)
print(round(y, 5))  # 1.44955

以上代码在 Python 3 中执行。