填充幻方的缺失条目

简介

幻方是一种有趣的数学游戏，其规则是填充一个 n × n 的矩阵，使得每行、每列和对角线上的数之和相等。在某些情况下，幻方中会存在缺失条目（可以是 0 或其他数字），我们需要编写程序来填充这些缺失条目。

实现

我们可以通过对幻方的数学特性进行分析，来实现填充缺失条目的算法。以下是针对欧拉幻方的算法：

1. 如果幻方有奇数个元素，那么填充每个缺失位置为幻方中所有数字的平均数。
2. 如果幻方有偶数个元素，那么：
   • 对于每个缺失位置，先填充为 0。
   • 将填充后的幻方矩阵分成四个子矩阵，并计算每个子矩阵中填充的非零数字之和，标记为 s1 ~ s4。
   • 将缺失位置所在的行和列分成两组，每组各有 n/2 个元素。
   • 计算四个组中的数字之和，标记为 r1 ~ r4。
   • 对于偶数索引的缺失位置，填充为 (s3 + s4 - r2) / 2，奇数索引的缺失位置，填充为 (s1 + s2 - r4) / 2。

我们可以根据以上算法实现填充幻方的缺失条目的函数。以下是 Python 代码片段：

# 欧拉幻方填充函数
def fill_euler_magic_square(square):
    n = len(square)

    # 奇数长度，直接填充平均值
    if n % 2 == 1:
        avg = sum(range(1, n ** 2 + 1)) // n
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                if square[i][j] == 0:
                    square[i][j] = avg

    # 偶数长度，按算法填充
    else:
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                # 填充为 0
                if square[i][j] == 0:
                    square[i][j] = 0

        # 计算子矩阵的和
        s1 = sum(square[:n//2,:n//2].reshape(-1))
        s2 = sum(square[:n//2,n//2:].reshape(-1))
        s3 = sum(square[n//2:,:n//2].reshape(-1))
        s4 = sum(square[n//2:,n//2:].reshape(-1))

        # 计算组中的数字之和
        r1 = sum(square[:n//2,:n//2].reshape(-1))
        r2 = sum(square[:n//2,n//2:].reshape(-1))
        r3 = sum(square[n//2:,:n//2].reshape(-1))
        r4 = sum(square[n//2:,n//2:].reshape(-1))

        # 填充缺失位置
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                if square[i][j] == 0:
                    if (i + j) % 2 == 0:
                        square[i][j] = (s3 + s4 - r2) // 2
                    else:
                        square[i][j] = (s1 + s2 - r4) // 2

结论

通过上述算法，我们可以填充幻方的缺失条目，使得幻方满足其特殊的数学规则。我们可以将该算法应用于游戏、加密和数据保护等领域。