所有数组元素对的乘积之和

这里介绍一种计算所有数组元素对的乘积之和的方法。

方法探索

设数组为 a，数组长度为 n，那么所有数组元素对的乘积之和为：

$$\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}a_i \times a_j$$

上式等价于：

$$\left(\sum_{i=1}^{n-1}a_i\right) \times \left(\sum_{j=i+1}^{n}a_j\right)$$

于是，可以将上式转化为两个子问题：

1. 求数组元素之和 $\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}a_i$
2. 求数组元素之和 $\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_j$

这两个子问题可以通过一次遍历解决，具体可以使用累加器实现。这样，我们只需要遍历数组一次，就能够计算出所有数组元素对的乘积之和，算法复杂度为 $O(n)$。

代码实现

下面给出使用累加器计算所有数组元素对的乘积之和的代码实现：

def calc_product_sum(a):
    """
    计算所有数组元素对的乘积之和
    :param a: 数组
    :return: 所有数组元素对的乘积之和
    """
    n = len(a)
    # 计算数组元素之和
    sum_a = 0
    for i in range(n):
        sum_a += a[i]
    # 计算所有数组元素对的乘积之和
    product_sum = 0
    for i in range(n):
        product_sum += a[i] * (sum_a - a[i])
    return product_sum

总结

本文介绍了一种使用累加器计算所有数组元素对的乘积之和的方法，算法复杂度为 $O(n)$。这种方法不仅简单易懂，而且运行效率高，是数组处理的常用技巧。