元素计数 - 统计给定Array子数组的总和

有时候我们需要统计给定Array中子数组的总和，本文将介绍如何实现这一功能。

方法一：暴力法

暴力法是最简单的一种方法，遍历所有的子数组并求和。代码如下：

def count_array_sum(arr):
    count = 0
    for i in range(len(arr)):
        for j in range(i, len(arr)):
            for k in range(i, j+1):
                count += arr[k]
    return count

该函数内部有三层循环，时间复杂度为$O(n^3)$。

方法二：动态规划

动态规划是一种更高效的方法，可以将时间复杂度降至$O(n^2)$。我们可以用一个二维数组cache来记忆子数组的和。

def count_array_sum(arr):
    n = len(arr)
    cache = [[0] * n for _ in range(n)]
    count = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i, n):
            if i == j:
                cache[i][j] = arr[i]
            else:
                cache[i][j] = cache[i][j-1] + arr[j]
            count += cache[i][j]
    return count

注意这里内部的i、j和k分别表示子数组的左、右两个端点和当前元素的索引。时间复杂度为$O(n^2)$。

方法三：数学解法

另一种更快的解法是通过数学方式推导，可以将时间复杂度降至$O(n)$。我们可以先求出每个元素作为子数组的左端点和右端点时，该元素出现次数的和。

def count_array_sum(arr):
    n = len(arr)
    count = 0
    for i in range(n):
        count += arr[i] * (i+1) * (n-i)
    return count

该函数内部只有一层循环，时间复杂度为$O(n)$。

总结

以上三种方法都可以用来计算给定Array的子数组总和，时间复杂度最低的是第三种数学解法，而第二种动态规划算法也是一个不错的选择。如果不是时间敏感的场景，也可以使用第一种暴力法，代码更简单易懂。