总和为给定数字的元素的最小计数

问题描述

给定一个包含正整数的数组和一个目标整数，在该数组中找到最小计数，使得所有选定的元素总和等于目标整数。

示例

第一个示例：

输入：[1, 2, 3], 6
输出：2
解释：选取 3 和 3，相加之和为 6，是可能的最小计数。

第二个示例：

输入：[2, 2, 2, 3, 1], 7
输出：2
解释：选取 3 和 3，相加之和为 6，是可能的最小计数。

算法

这个问题可以使用动态规划来解决。我们可以定义一个二维数组 $dp$，其中 $dp[i][j]$ 表示从数组中的前 $i$ 个元素中取得总和为 $j$ 的最小计数。

对于每个 $dp[i][j]$，我们有两种选择：

• 不包含第 $i$ 个元素，这种情况下 $dp[i][j]$ 的计数与 $dp[i-1][j]$ 相同；
• 包含第 $i$ 个元素，这种情况下 $dp[i][j]$ 的计数为 $dp[i-1][j-nums[i-1]]+1$。

重要提示：在第二种情况下，我们选择了第 $i$ 个元素，然后我们向 $dp[i-1][j-nums[i-1]]$（已经选择了 $i-1$ 个元素，并且它们的总和为 $j-nums[i-1]$）添加一个元素。

最后，答案为 $dp[n][target]$，其中 $n$ 是数组中元素的数量。

代码实现

以下是实现上述算法的 Python 代码片段：

def min_count(nums, target):
    n = len(nums)
    dp = [[0] * (target + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(1, target + 1):
        dp[0][i] = float('inf')
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, target + 1):
            if nums[i - 1] > j:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j]
            else:
                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - nums[i - 1]] + 1)
    if dp[n][target] == float('inf'):
        return -1
    return dp[n][target]

以上代码中，我们使用 $n$ 和 $target$ 来表示给定数组的长度和目标整数。在第一行代码中，我们使用列表推导式创建一个二维数组 $dp$。

在接下来的两个循环中，我们将 $dp[0][i]$ 的值初始化为无穷大，并从索引 1 开始，从数组的第一个元素开始遍历。

在循环的主体中，如果 nums[i-1] > j，则我们不能选择第 i 个元素，因为它比目标整数大。因此，dp[i][j] 的计数与 $dp[i-1][j]$ 相同。

如果 nums[i-1] <= j，则我们有两种选择。在第一种选择中，我们不选择第 i 个元素。在这种情况下，dp[i][j] 的计数与 $dp[i-1][j]$ 相同。在第二种选择中，我们选择第 i 个元素。在这种情况下，我们选择 $dp[i - 1][j - nums[i - 1]]$（选择了前 i-1 个元素，并且它们的总和为 j-nums[i-1]）。

最后，我们检查 $dp[n][target]$ 的值是否为无穷大。如果是，则返回 -1。否则，返回 $dp[n][target]$ 的值作为答案。