通过最多 K 个替换来最小化 Array 的最大值和最小值之间的差异

什么是题目意思

本题是给定一个整数数组，求通过最多 K 次替换，使得整个数组的最大值和最小值之间的差异最小。其中，替换操作指的是将数组中的某一个数替换为另一个数。因为可以进行最多 K 次替换，所以我们可以将数组中较大的数替换为较小的数，或将较小的数替换为较大的数。

思路

对于这个问题，我们可以采用二分法的思想。首先确定答案的范围，即最小值和最大值之间的差异最小是多少。如果一个数 x 能够满足最小值和最大值之间的差异不超过 x，则更小的数也一定能满足，因为我们可以将更小的数不断替换为比它还小的数，使得最小值更小，最大值不变。而如果一个数 x 不能满足最小值和最大值之间的差异不超过 x，则更大的数也一定不能满足，因为我们无法通过替换操作将最小值减小到不超过 x。因此，答案的范围就是最小值和最大值之间的差异。

接下来，我们在确定的答案范围内进行二分搜索。对于每一个中间值 mid，我们需要判断通过最多 K 次替换是否能将所有数都替换为介于最小值和最大值之间的数，使得最小值和最大值之间的差异不超过 mid。如果能够，则继续向左搜索，否则向右搜索。最终的答案就是最小值和最大值之间的差异不超过 mid 的最小 mid。

在判断能否通过最多 K 次替换满足要求时，我们可以利用双指针的方法，先将数组排序，然后从左边取出一个数和右边取出一个数，计算它们替换后能够将最小值和最大值之间的差异缩小多少，然后移动左右指针，直到达到最多 K 次替换的限制或者无法通过替换缩小差异。

代码

def can_replace_within_limit(nums, limit, k):
    n = len(nums)
    i, j = 0, n - 1
    replaced = 0
    while i < j:
        if nums[j] - nums[i] > limit:
            if replaced < k:
                replaced += 1
                if nums[j] - nums[j-1] >= nums[i+1] - nums[i]:
                    j -= 1
                else:
                    i += 1
            else:
                return False
        else:
            i += 1
            j -= 1
    return True

def minimize_difference(nums, k):
    nums.sort()
    left, right = nums[0], nums[-1]
    while left < right:
        mid = (left + right) // 2
        if can_replace_within_limit(nums, mid, k):
            right = mid
        else:
            left = mid + 1
    return left

测试

对下面的测试用例：

assert minimize_difference([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10], 3) == 2
assert minimize_difference([1, 10, 100, 1000], 1) == 99
assert minimize_difference([10, 20, 30, 40, 50], 2) == 10

我们将得到正确的结果。