有效地计算 nCr 值的程序

组合数学是一个重要的数学概念，其中nCr是最常用的符号之一。在计算机科学中，nCr（从n个元素中“r”选择元素的组合数）也是经常用到的。

在这篇文章中，我们将介绍如何在计算机程序中有效地计算nCr值，同时回顾一些基本的数学概念。

数学概念

组合数学的定义尤其简单：从一组“n”元素中选择“r”个元素，不考虑顺序（意味着 [1, 2] 与 [2, 1] 是相同的）。这个组合的数目用 nCr 表示。

为了简单起见，我们假设 “n” 和 “r” 都是正整数并且 “r ≤ n”。

在数学上，nCr 由以下公式定义：

nCr = n! / (r! * (n - r)!)

其中，“!” 是阶乘操作，即 n! = n(n-1)...(2)(1)。

计算 nCr

现在让我们看看如何用程序计算nCr。

方法 1：暴力计算

最基础的方法是直接按照公式进行计算。但是，使用此方法计算大型数字的 nCr 可能会导致整数溢出，因为阶乘的值增长得太快。

以下是 Python 代码实现：

def nCr(n, r):
    return factorial(n) // (factorial(r) * factorial(n-r))

def factorial(n):
    if n == 0:
        return 1
    else:
        return n * factorial(n-1)

此代码中的 factorial 函数使用递归方法计算阶乘，nCr 函数使用此函数计算 nCr 值。

我们可以通过以下方式使用此函数：

print(nCr(5,2)) # 输出为 10

方法 2：动态规划

要有效地计算nCr值，我们可以使用动态规划方法。可以将题目转化为从 n 个元素中选 r 个元素，每次可以选或不选，共有多少种情况。我们可以使用二维矩阵dp，其中dp[i][j]表示从前i个元素中选j个元素，共有多少种情况。

以下是 Python 代码实现：

def nCr(n, r):
    dp = [[0 for i in range(r+1)] for j in range(n+1)]
    for i in range(n+1):
        dp[i][0] = 1
    for i in range(1,n+1):
        for j in range(1,min(i+1,r+1)):
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-1]
    return dp[n][r]

我们可以通过以下方式使用此函数：

print(nCr(5,2)) # 输出为 10

方法 3：组合数公式

对于较大的数字，即使使用动态规划算法也可能超时。此时，我们可以使用另一个数学公式。

通常，公式中的乘法和除法运算比求阶乘更快。因此我们使用以下组合公式：

nCr = ((n-r+1)/r)*nCr(n,r-1)

以下是 Python 代码实现：

def nCr(n, r):
    if r>n: return 0
    res = 1
    for i in range(1,r+1):
        res *= (n-r+i)
        res //= i
    return res

我们可以通过以下方式使用此函数：

print(nCr(5,2)) # 输出为 10

结论

现在你了解了三种计算nCr值的方法。暴力计算方法简单但可能会导致整数溢出，而动态规划方法可以解决此问题，但可能需要更长的计算时间。组合数公式是最快的方法，但需要深入理解组合数学中的相关概念。

无论你选择哪种方法，都应该注意输入数据的大小并避免出现溢出问题。