求最大总和等于三层的总和

介绍

在一个三角形中，从顶部出发，每次可以向下或向右下走一格，直到达到底部。我们希望在这个三角形中找到一条路径，使得路径上经过的数字的总和最大，并且路径的长度为三层。本文将介绍如何使用动态规划来解决这个问题。

动态规划

使用动态规划来解决这个问题的基本思路是将问题划分为子问题，并将子问题的解存储起来。这样就可以避免多次计算同样的子问题。对于本问题，我们可以使用一个二维的数组来存储到达每个格子时的最大总和。

我们设 $dp[i][j]$ 表示从顶部到达 $(i,j)$ 时的最大总和，那么有以下的递推公式：

$dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j]) + triangle[i][j]$

其中 $triangle$ 表示我们要求解的三角形。这个公式的意思是，当我们到达位置 $(i,j)$ 时，我们可以从 $(i-1,j-1)$ 或者 $(i-1,j)$ 中选择一个较大的位置继续向下走，并把当前格子的值加上这个选择的位置的值。

代码实现

以下是使用 Python 实现上述动态规划算法的代码片段：

def max_sum(triangle):
    n = len(triangle)
    # 初始化 dp 数组
    dp = [[0] * (i+1) for i in range(n)]
    dp[0][0] = triangle[0][0]

    # 递推计算 dp 数组
    for i in range(1, n):
        for j in range(i+1):
            if j == 0:
                dp[i][j] = dp[i-1][0] + triangle[i][j]
            elif j == i:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + triangle[i][j]
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j]) + triangle[i][j]

    # 找到最大的三层总和
    max_sum = 0
    for i in range(2, n):
        for j in range(1, i):
            sum_3 = dp[i][j] + dp[i-1][j-1] + dp[i-2][j-2]
            if sum_3 > max_sum:
                max_sum = sum_3

    return max_sum

其中，我们首先初始化一个 $n\times n$ 的二维数组 $dp$，然后递推计算出到达每个位置时的最大总和。最后，我们再遍历每个可能的三层，找出最大的三层总和。

总结

通过使用动态规划算法，我们可以很方便地解决本问题。这个算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度也为 $O(n^2)$。如果我们只需要求出最大总和，而不需要具体的路径，还可以进一步优化空间复杂度为 $O(n)$。