在线查询范围内数组中不同数字的计数

合并排序树是一种常用的数据结构，它可以用来对数组进行排序，也可以用来解决一些常见的问题，比如查找某个区间内不同数字的个数。下面介绍如何使用合并排序树来解决这个问题。

合并排序树简介

合并排序树是一颗平衡二叉树，它的每个节点都包含一个有序数组。当需要合并两个节点时，我们可以直接将它们的有序数组合并起来，然后再按照中序遍历的顺序重构成一颗平衡二叉树。因为每个节点都包含一个有序数组，所以我们可以在合并的过程中顺便统计出区间内不同数字的个数。

解决问题的思路

假设我们需要查询数组中下标在 $[L, R]$ 范围内的不同数字的个数，我们可以先构造一颗合并排序树，然后对于每个节点，如果它的有序数组的所有数字都小于 $L$，那么就跳过它；如果它的有序数组的所有数字都大于 $R$，那么也跳过它；否则，就在它的有序数组中二分查找第一个大于等于 $L$ 的数字和最后一个小于等于 $R$ 的数字，然后用它们之间的数字个数减去重复的数字个数就得到了区间内不同数字的个数。最后将所有节点的结果加起来就是最终的答案。

代码实现

以下是使用 Python 实现的代码：

class Node:
    def __init__(self, nums):
        self.nums = nums
        self.left = None
        self.right = None

class MergeSortTree:
    def __init__(self, nums):
        self.root = self.build(nums)

    def build(self, nums):
        if not nums:
            return None
        mid = len(nums) // 2
        node = Node(nums[mid:mid + 1])
        node.left = self.build(nums[:mid])
        node.right = self.build(nums[mid + 1:])
        return node

    def query(self, L, R):
        return self._query(self.root, L, R)

    def _query(self, node, L, R):
        if not node:
            return 0
        if node.nums[-1] < L or node.nums[0] > R:
            return 0
        if L <= node.nums[0] and node.nums[-1] <= R:
            return len(node.nums)
        mid = len(node.nums) // 2
        return self._query(node.left, L, R) + self._query(node.right, L, R) - self._count_overlap(node.nums, L, R)

    def _count_overlap(self, nums, L, R):
        left = self._index_ge(nums, L)
        right = self._index_le(nums, R)
        return max(0, right - left + 1)

    def _index_ge(self, nums, target):
        left, right = 0, len(nums) - 1
        while left <= right:
            mid = (left + right) // 2
            if nums[mid] < target:
                left = mid + 1
            else:
                right = mid - 1
        return left

    def _index_le(self, nums, target):
        left, right = 0, len(nums) - 1
        while left <= right:
            mid = (left + right) // 2
            if nums[mid] > target:
                right = mid - 1
            else:
                left = mid + 1
        return right

总结

合并排序树是一种非常实用的数据结构，它可以用来解决多种问题，包括查询某个区间内不同数字的个数。在实际应用中，我们可以根据具体的问题来修改合并排序树的实现。