通过平方、加 1 或乘以 2 将 2 转换为 N 的方法计数

在这个题目中，我们需要通过平方、加 1 或乘以 2 将 2 转换为 N 的方法计数。这是一个典型的动态规划问题，下面我们将介绍多种解决方案。

解法一：递归

我们可以通过递归的方式解决这个问题。具体来说，我们定义一个函数 dp(n) 表示将 2 转换为 n 的方法数，那么状态转移方程就是：

dp(n) = dp(n - 1) + dp((n - 1) / 2)     if n % 2 == 0
dp(n) = dp(n - 1)                      otherwise

其中，dp(0) = 1，dp(1) = 1。

代码如下：

def dp(n):
    if n == 0 or n == 1:
        return 1
    if n % 2 == 0:
        return dp(n - 1) + dp((n - 1) // 2)
    else:
        return dp(n - 1)

这个算法的时间复杂度是指数级的，不过可以通过记忆化搜索优化。

解法二：记忆化搜索

我们可以使用一个数组 memo 来记录之前计算过的结果，避免重复计算。代码如下：

def dp(n, memo):
    if n == 0 or n == 1:
        return 1
    if memo[n] != 0:
        return memo[n]
    if n % 2 == 0:
        memo[n] = dp(n - 1, memo) + dp((n - 1) // 2, memo)
    else:
        memo[n] = dp(n - 1, memo)
    return memo[n]

解法三：动态规划

我们也可以使用动态规划的方法解决这个问题。具体来说，我们定义一个数组 dp，其中 dp[i] 表示将 2 转换为 i 的方法数，那么状态转移方程就是：

dp[i] = dp[i - 1] + dp[(i - 1) / 2]    if i % 2 == 0
dp[i] = dp[i - 1]                     otherwise

代码如下：

def dp(n):
    if n == 0 or n == 1:
        return 1
    dp = [0] * (n + 1)
    dp[0] = dp[1] = 1
    for i in range(2, n + 1):
        if i % 2 == 0:
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[(i - 1) // 2]
        else:
            dp[i] = dp[i - 1]
    return dp[n]

总结

通过本文的介绍，我们可以看出，动态规划是一个非常强大的工具，可以解决很多计数问题。当我们遇到类似的问题时，可以尝试使用动态规划。