阳性乘积的子阵列数

在计算机科学中，阳性乘积的子阵列数是一个经典问题。给定一个整数数组，计算它所有连续子数组的乘积为正数的个数。这个问题可以用动态规划和数学公式两种方法解决。

动态规划方法

首先，我们可以用一个数组 P 来记录每个位置为结尾的乘积为正数的子数组的个数。初始状态为 P[0] = 1，然后逐个扫描整个数组，对于每个位置 i，如果它是正数，那么它可以和前面所有连续的正数组成一个乘积为正数的子数组，这些子数组均可以作为 P[i] 的状态转移来源。

如果它是负数，那么它可以和前面所有连续的负数组成一个乘积为正数的子数组，同时也可以和前面所有连续的正数组成一个乘积为负数的子数组，这些子数组均可以作为 P[i] 的状态转移来源。这两种情况合并起来就是下面的状态转移方程：

if nums[i] > 0:
    P[i] = P[i-1] + 1
else:
    P[i] = N[i-1] + 1

其中，N[i] 表示每个位置为结尾的乘积为负数的子数组的个数，可以用类似的方式求出：

if nums[i] < 0:
    N[i] = P[i-1] + 1
else:
    N[i] = N[i-1] + 1

最终的答案就是数组 P 中所有元素的和。这个算法的时间复杂度为 O(n)，空间复杂度也为 O(n)，其中 n 是数组的长度。

数学公式方法

另外一个解决这个问题的方法是使用数学公式。我们可以用 y 表示当前位置为结尾的乘积的正负性，其中 y = 1 表示正数，y = -1 表示负数。那么对于每个位置 i，假设 j 是它前面最后一个正数的位置，k 是它前面最后一个负数的位置，那么它所有乘积为正数的子数组个数就是：

P[i] = P[j-1] + 1, if y = 1 and j >= k
     = P[k-1] + 1, if y = -1 and k >= j
     = P[i-1], otherwise

其中，当 y = 1 时，j >= k 表示前面没有负数。当 y = -1 时，k >= j 表示前面没有正数。这个公式的含义是，如果当前位置是正数且前面有多个连续正数，那么它可以和这些正数组成多个新的子数组；如果当前位置是负数且前面有多个连续负数，那么它可以和这些负数以及负数右侧的所有正数组成多个新的子数组。

使用类似的方法可以求出乘积为负数的子数组个数。最终的答案就是两种个数之和。这个算法的时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(1)。由于这个算法需要多次遍历数组，因此它不如动态规划方法快，但是它的实现非常简单。