将数字分成N个部分，以使最小和最大部分之间的差最小

问题描述

给定一个长度为M的数字序列，将该数字序列分成N个部分，使得各部分之和的差的绝对值最小。

解决方案

1. 动态规划

我们可以使用动态规划(Dynamic Programming)来解决这个问题。设$dp[i][j]$表示前$i$个数字分成$j$个部分的最小的各部分和之差，那么有如下转移方程：

$$ dp[i][j] = \min_{k=i-1}^{j-2}{{dp[k][j-1] + RangeSum(k+1, i)}} $$

其中，$RangeSum(i, j)$表示序列中下标从$i$到$j$的数字和。这个式子的意思是，遍历前$i$个数字，将其划分到$j$个部分中的其中一个，然后计算每个部分的和，遍历完所有可能的划分方案，取最小的各部分和之差。

当$j=1$时，即只将所有数字分成一个部分，答案为整个序列的数字和。当$j=M$时，就是将每个数字单独分成一个部分，答案就是0。

最终的答案为$dp[M][N]$。

2. 二分答案

另外一种解法是使用二分答案(Bisection algorithm)。我们可以将每个数字看作一个数轴上的点，然后将这些点分成$N$个部分，使得各部分之和的差的绝对值最小。

我们可以将问题转化为，能否在这些点上，画出$N-1$条垂直于$x$轴的直线，使得这些线把整个数轴分成$N$个部分，且每个部分的点的累计权值之差最小。具体地，我们先求出整个数轴上所有点的权值之和$total$，然后二分答案，设当前答案为$k$，然后贪心地从左往右画垂线，将当前分段的权值之和加起来，若已经画了$N-1$条垂线，当前分段的权值之和加上后面剩余的所有点的权值之和(total-sum)之和的绝对值即为当前答案与$k$之间的差。

最终的答案为二分$k$时的最小答案。

总结

以上两种解法，二分答案的时间复杂度为$O(Mlog(total))$，动态规划的时间复杂度为$O(M^2N)$，根据实际情况和数据范围可以选择相应的解法。