将二叉树转换为二叉搜索树所需的最小交换

介绍

在二叉树中，如果我们将所有节点的值按照中序遍历的顺序排列，得到的序列称为该二叉树的中序遍历序列。而对于二叉搜索树（BST），它的中序遍历序列是有序的。因此，我们可以通过交换二叉树中的一些节点，将其转换为一棵BST。

本文将介绍如何通过最小化交换操作的数量，将一棵任意形态的二叉树转换为一棵BST。

方法

1. 中序遍历 + 排序

如果我们将二叉树进行中序遍历，得到的是一个乱序的节点序列。为了将其转换为有序序列，我们可以将其排序，再将这些排好序的节点的值依次放入一颗新的BST中。

这种方法看似简单，但要注意的是，当二叉树中存在相同节点值的情况时，排序是不保证稳定的。也就是说，有可能两个节点的值相同，但在排序后它们的相对位置发生了改变。这会使得我们的结果不正确。

此外，这种方法需要消耗大量的空间，因为我们需要将所有节点的值复制到一个新的数据结构中，并对其排序。

2. 转换为链表

因为中序遍历是按顺序访问节点的，所以我们可以利用这个特性，将一棵二叉树转换为一条链表。然后，我们可以在这条链表上进行调整，使得它成为一棵BST。

这种方法的时间复杂度为 $O(n)$，因为我们只需要一遍中序遍历和一遍链表调整。但是它需要消耗 $O(n)$ 的额外空间，因为我们需要将二叉树转换为链表。

3. 递归交换

直接对一棵二叉树进行交换操作可能十分困难，因此我们考虑进行分治操作。我们可以先将整棵二叉树分成左右两个子树，然后分别对左子树和右子树进行操作，最后将左右子树合并起来。

对于每个子树，我们可以通过递归的方式，将其转换为一棵BST。我们可以通过这棵BST的中序遍历序列得到一个排好序的节点序列。同时，我们也可以在递归的过程中计算出这个子树中需要进行的最小交换数量。

得到排好序的节点序列后，我们可以采用“冒泡排序”的方法，只比较相邻元素并交换它们的位置，从而将这个节点序列调整为一个有序序列。在交换节点的过程中，我们就能够得到交换操作的数量。

最后，我们将左子树转换为BST所需的最小交换数量、右子树转换为BST所需的最小交换数量、以及左右子树之间的跨越操作数量相加，就得到了整棵二叉树转换为BST所需的最小交换数量。

这种方法的时间复杂度为 $O(n \log n)$，因为我们需要对每个子树进行递归操作。但是它的空间复杂度仅为 $O(1)$，因为我们不需要使用额外的数据结构。

示例代码

下面是使用递归交换的方法，将一棵二叉树转换为一棵BST所需的最小交换数量的示例代码：

class Solution:
    def __init__(self):
        self.total_swaps = 0
        
    def min_swaps(self, root: TreeNode) -> int:
        self.recursive_swap(root)
        return self.total_swaps
        
    def recursive_swap(self, root: TreeNode) -> Tuple[List[int], int]:
        if root is None:
            return ([], 0)
        left_nodes, left_swaps = self.recursive_swap(root.left)
        right_nodes, right_swaps = self.recursive_swap(root.right)
        node_values = left_nodes + [root.val] + right_nodes
        n = len(node_values)
        for i in range(n):
            for j in range(i+1, n):
                if node_values[i] > node_values[j]:
                    self.total_swaps += 1
        return (node_values, left_swaps + right_swaps + self.total_swaps)

在这个代码中，我们定义了一个 Solution 类，其中包含一个 min_swaps 方法，用来计算一棵二叉树转换为一棵BST所需的最小交换数量。这个方法接受一个 TreeNode 类型的参数 root，表示这棵二叉树的根节点。

在 min_swaps 方法中，我们首先调用 recursive_swap 方法，对整棵二叉树进行递归操作。recursive_swap 方法接受一个 TreeNode 类型的参数 root，表示当前子树的根节点。它会返回一个包含当前子树中所有节点值的列表 node_values，以及将这个子树转换为一棵BST所需的最小交换数量 left_swaps + right_swaps + self.total_swaps。

在 recursive_swap 方法中，我们首先对左子树和右子树进行递归操作，得到它们所包含的节点值列表和最小交换数量。然后，我们将左子树的节点值列表、当前节点的值、右子树的节点值列表合并起来，得到当前子树的节点值列表 node_values。接着，我们对这个节点值列表进行冒泡排序，并记录下交换操作的数量。最后，我们将左子树转换为BST所需的最小交换数量、右子树转换为BST所需的最小交换数量、以及左右子树之间的跨越操作数量相加，就得到了当前子树转换为BST所需的最小交换数量。