N*M 网格中的矩形数量介绍

有一个 $N$ 行 $M$ 列的网格，网格中的每个格子有两条相邻的边。在这样的网格中，可以组成多少个矩形呢？

暴力枚举

最朴素的想法就是在网格中枚举每个矩形的左上角和右下角所处的位置，这样可以得出所有可能的矩形。设矩形的左上角为 $(i, j)$，右下角为 $(k, l)$，则枚举所有可能的 $(i, j, k, l)$ 并计算矩形的个数即可。

时间复杂度为 $O(N^4)$，当 $N$ 较大时，时间复杂度较高。

简化枚举

观察上述的暴力枚举方法，可以发现其中存在冗余的计算。具体来说，对于每个 $(i, j)$，都需要枚举所有的 $(k, l)$，因此枚举的复杂度是 $O(N^2)$ 的。

但是，可以注意到，对于 $(i, j)$ 确定的情况下，$(k, l)$ 可以存在的最大值是有限的。具体来说，$(k, l)$ 可以是 $(i, j)$ 到 $(N, M)$ 中的任意一个点。因此，可以将枚举 $(k, l)$ 的过程去掉，只枚举 $(i, j)$，同时计算对应的矩形个数，然后将结果累加即可。

时间复杂度为 $O(N^3)$，较暴力枚举优化了一定的时间复杂度。

公式计算

更进一步地，可以考虑直接计算所有矩形的个数。具体来说，可以将所有可能存在的矩形分解成两个正方形和其他部分。设网格的行数为 $N$，列数为 $M$，则所有矩形的个数为

$$ \begin{aligned} &\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M\sum_{k=i+1}^N\sum_{l=j+1}^M (k-i)(l-j) \ = & \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M\left(\sum_{k=i+1}^N(k-i)\right)\left(\sum_{l=j+1}^M(l-j)\right) \ = & \frac{N(N-1)M(M-1)}{4} \end{aligned} $$

时间复杂度为 $O(1)$，是最优解。

总结

本文介绍了三种不同的方法来计算网格中矩形的个数。其中，最朴素的暴力枚举方法时间复杂度为 $O(N^4)$；简化枚举方法优化了时间复杂度为 $O(N^3)$；公式计算方法达到了最优时间复杂度 $O(1)$。在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的方法来计算矩形个数。