使 AP 中的所有数组元素所需的最小增量或减量 1

在编写程序时，我们经常需要对数组进行操作。有时，我们需要将所有的数组元素都增加或减少相同的数值。在一些场合中，我们希望使得增量或减量的数值最小，以减少修改数组所需的时间和空间复杂度。

本文将介绍如何使 AP（等差数列）中的所有数组元素所需的最小增量或减量为 1，以解决这个问题。

算法描述

设原来的等差数列为 a1, a2, ..., an（n >= 2）。我们可以尝试将其转化为 1, 2, ..., n 的等差数列 b1, b2, ..., bn 。这样，我们只需要将每个 bj 减去 j - 1 即可得到我们所需的等差数列。

考虑如何将原始的等差数列转化为 1, 2, ..., n 的等差数列。我们可以找到一个数字 d，使得 d 是所有相邻差值的最大公约数。然后，我们可以将原始等差数列中所有的数字都除以 d，得到一个新的等差数列。此时，新等差数列的首项和公差都是原来等差数列的首项和公差除以 d。

以下是该算法的 Python 实现：

import math

def make_AP_1(AP):
    '''将 AP 中的所有元素变为使其成为等差数列所需的最小增量或减量 1。'''
    
    # 确定需要除以的最大公约数
    diff = [AP[i+1] - AP[i] for i in range(len(AP) - 1)]
    gcd = math.gcd(*diff)
    
    # 生成转化后的等差数列
    b = [(AP[i] - AP[0]) // gcd + 1 for i in range(len(AP))]
    
    # 对应得到新的数组
    new_AP = [b[i] + i - 1 for i in range(len(b))]
    
    return new_AP

示例

我们来看一个例子，如何将原始的等差数列 [1, 4, 7, 10] 转化为等差数列 1, 2, 3, 4。

首先计算相邻差值的最大公约数：

diff = [3, 3, 3]
gcd = math.gcd(*diff) = 3

我们得到新的等差数列是：

b = [1, 2, 3, 4]

最后，我们可以通过按照上述公式求得新的等差数列：

new_AP = [2, 5, 8, 11]

通过执行 make_AP_1([1, 4, 7, 10])，我们将得到同样的结果。

总结

我们已经介绍如何使 AP 中的所有数组元素所需的最小增量或减量为 1，从而减少修改数组所需的时间和空间复杂度。具体来说，我们可以通过找到所有相邻差值的最大公约数，将原来的等差数列转化为 1, 2, ..., n 的等差数列，进而得到我们所需的等差数列。

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