递归求解f(n)

在数学中，常常会遇到递归式的问题。递归的思想也常常会应用到编程中，特别是在算法领域。下面就让我们来看一道有趣的递归问题。

问题描述

给定一个数n，定义f(n)=(1)+(2 * 3)+(4 * 5 * 6)…(2i * (2i+1) * … * (2i+k))，其中2i+k<=n且k是非负整数。请使用递归的方式求解f(n)。

解法

解决这道题目的关键在于找到递归的规律。显然，在f(n)中，每个括号内的乘积是连续的奇数，并且每个括号内的乘积是前一个括号内乘积的基础上再加一，例如(4 * 5 * 6)就是(2 * 3)的基础上再加一。

因此，我们可以定义一个递归函数来求解f(n)，这个递归函数需要两个参数，分别是起始位置i和结束位置j，表示求解从第i个括号到第j个括号内的和。对于每个括号内的乘积，我们可以定义一个递归函数来解决。

代码如下：

def product(start, end):
    if start == end:
        return start
    else:
        return start * product(start + 1, end)
 
def f(i, j):
    if i > j:
        return 0
    else:
        return product(2 * i + 1, 2 * j + 1) + f(i, j - 1)
 
n = int(input("Please input n: "))
result = f(0, n // 2)
print(result)

首先，我们定义了一个product函数来求解连续奇数乘积的值。这个函数也是一个递归函数，如果起始位置等于结束位置，那么乘积的值就是起始位置的值。否则，就返回起始位置与从起始位置+1到结束位置的乘积之积。这样就可以解决每个括号内的乘积了。

接下来，我们定义f函数来求解从第i个括号到第j个括号内的和。如果i>j，说明没有括号了，返回0即可。否则，就返回第j个括号内的乘积与从第i个括号到第j-1个括号内的和之和。这样就可以求解整个问题了。

最后，我们可以通过输入n来运行这个递归函数，求解f(n)的值。

总结

递归是一种十分常用的编程技巧，在算法领域中，递归算法更是比比皆是。因此，理解递归算法的核心思想和使用规律对于程序员来说是十分重要的。本文介绍了如何使用递归方法来解决一个有趣的递归问题，希望对读者有所启发。