使用递归求解f(n)

本文介绍如何使用递归方法求解 $f(n)=(1)+(2 * 3)+(4 * 5 * 6)+ \cdots +n$。

递归思路

根据题目描述，$f(n)$ 是一个由多个同样形式的子问题组合而成的问题，即：

$$f(n) = (1) + (2 * 3) + (4 * 5 * 6) + \cdots + (2^{k-1} * (2^k - 1) * \cdots * (2^{k+1} - 1)) + \cdots + (2^{m-1} * (2^m - 1) * \cdots * (n-2) * (n-1) * n)$$

其中 $k$ 是满足 $2^k \le n$ 的最大整数，$m$ 是 $n$ 的二进制位数。

可以将 $f(n)$ 看作是由 $k$ 个子问题组成。对于每个子问题，都是一个形如 $f(2^k-1)$ 的问题，也就是只需要求解 $2^k-1$ 以下的数的累乘和。因此可以使用递归的方式求解，将 $f(n)$ 分解成多个同样结构的子问题，直到到达递归边界条件（数值足够小），然后将每个子问题的结果累加起来。

代码实现

下面是使用 Python 实现递归求解 $f(n)$ 的代码：

def f(n):
    if n == 1:
        return 1
    k = 0
    while 2**(k+1) <= n:
        k += 1
    sub_total = 1
    for i in range(k):
        sub_total *= 2**i * (2**(i+1) - 1)
    return sub_total + f(2**k - 1) + (n - 2**k + 1) * f(2**(k-1))

这段代码的递归边界条件是 $n=1$，则返回 $1$。对于每个 $n$，首先找到满足 $2^k \le n$ 的最大整数 $k$，然后将 $f(n)$ 分解成三个子问题：

1. $f(2^k-1)$
2. $f(n-2^k+1)$
3. $2^k * f(2^{k-1})$

其中第一个子问题可以递归求解，即 $f(2^k-1)$，第二个子问题又可以分解成两个子问题，即 $f(2^{k-1})$ 和 $f(n-2^k+1-2^{k-1})$。第三个子问题直接计算即可。

使用递归思想实现代码时一定要注意写好递归边界条件和子问题的拆分方式，避免无限递归的情况。

总结

本文介绍了使用递归方法求解 $f(n)=(1)+(2 * 3)+(4 * 5 * 6)+ \cdots +n$ 的思路和代码实现。递归思想在计算机科学中有着广泛的应用，不仅仅局限于求解数学问题，也可以用来解决众多其他类型的问题。