查找第 n 个幻数

简介

幻数是指能让计算机执行某些特殊功能的数字或者值。在计算机系统中，幻数可以用来标识文件格式、数据结构、协议等等。查找第 n 个幻数就是要找出一个特定条件下的幻数序列中的第 n 个幻数。

解法

1. 暴力枚举

暴力枚举是最为简单而又直接的解法。我们可以从小到大枚举每个自然数，检查它是否符合我们的幻数定义，如果符合则记录下来并继续枚举下一个数，直到我们找到第 n 个幻数为止。

暴力枚举的时间复杂度为 O(n)，不太适用于较大的 n。

def find_nth_magic_number(n: int) -> int:
    count, num = 0, 0
    while count < n:
        if is_magic_number(num):
            count += 1
        num += 1
    return num - 1

2. 找规律

对于一些特定的幻数序列，我们可以通过找规律来快速计算第 n 个幻数。例如，对于二进制幻数序列，前几个幻数为 1、10、11、100、101、110、111、1000、1001、1010……我们发现，每个幻数都可以通过一个前导 1 和已有幻数左移一位再加上一个特定的数得到。这个特定的数也是有规律的：第 i 个幻数的特定数应该是第 i 个幻数所有位数为 1 的二进制数再 XOR 1。

通过这种方法，我们可以将时间复杂度降为 O(log n)。

def find_nth_magic_number(n: int) -> int:
    num, special = 0, 0
    while n:
        num += 1 << 1
        num ^= special
        special = special << 1 | 1
        n >>= 1
    return num >> 1

总结

对于不同类型的幻数序列，可以采用不同的查找方法。暴力枚举通用、易于实现但效率较差，而找规律需要一定的数学功底但效率较高。