最大化具有最小元素乘积且子集大小至少为X的子集数

对于给定的正整数序列 $a_1, a_2, \cdots, a_n$，我们可以选择其中一些数组成一个非空的序列，定义这个序列的元素积为这些元素的积，不难发现，对于任意的正整数序列，元素积的取值范围为 $[1, \prod_{i=1}^na_i]$。

现在的问题是：给定一个正整数 $k$，选出一个元素积最小的子集，使得子集大小至少为 $k$。请列出时间复杂度不超过 $O(n^3)$ 的算法。

思路

假设我们选出的子集中最小的元素为 $x$，可以发现，如果 $x$ 越小，选出的子集中元素的积就越小，因此我们要尽量让 $x$ 最小。

先对数组 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 排序，然后考虑使用动态规划求解。定义状态 $f(i, j)$ 表示在前 $i$ 个数中选出 $j$ 个数的元素积的最小值，可以得到如下的状态转移方程：

$$f(i, j) = \min{f(i-1, j), x\times f(i-1, j-1)}$$

其中 $x$ 是前 $i$ 个数中最小的数，当 $j>i$ 时，$f(i, j)$ 的值为正无穷。

至此，我们可以直接枚举 $x$，然后求出满足条件的最小元素积，再取所有最小元素积的最大值就是答案。

代码实现

def min_product(a, k):
    a.sort()  # 排序
    n = len(a)
    f = [[float('inf')] * (k+1) for _ in range(n+1)]
    f[0][0] = 1
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, k+1):
            if j > i:
                break
            f[i][j] = min(f[i-1][j], a[i-1] * f[i-1][j-1])
    ans = float('-inf')
    for x in a[:n-k+1]:
        prod = 1
        for i in range(n):
            if a[i] <= x:
                prod *= a[i]
        ans = max(ans, prod)
    return ans

参考文献

• 最大化具有最小元素乘积且子集大小至少为X的子集数 - 知乎