数组的最小乘积子集

介绍

给定一个整数数组，找出其中元素的最小乘积子集。最小乘积子集定义为：集合中所有元素的乘积最小，但不能同时包含任何两个相邻的元素。

例如，对于数组 [4, 3, 5, 10, 1, 2]，最小乘积子集为 [4, 5, 2]，因为它们的乘积最小，且不存在相邻的元素。

解法

最直观的解法是暴力枚举所有子集，然后筛选出不包含相邻元素且乘积最小的子集。但是这个做法的时间复杂度为 O(2^n)，对于稍微大一点的数组就会超时。

更好的做法是使用动态规划，类似于求解最长递增子序列的方法。具体的说，我们定义一个数组 dp，其中 dp[i] 表示以第 i 个元素结尾的最小乘积子集。则有如下递推公式：

$$ dp[i] = \begin{cases} {a_i}, & i=0\ \min\big({a_i}\cup\big{dp[j]\cup {a_i}\big|j<i, a_i\notin dp[j]\big},& i>0 \end{cases} $$

其中 ${a_i}$ 表示只包含第 $i$ 个元素的子集，$\cup$ 表示集合合并操作，$\notin$ 表示不属于。

这个递推公式的意思是，对于以 $a_i$ 结尾的最小乘积子集，它要么就是 ${a_i}$ 自身，要么就可以由前面结尾在 $a_j$ 的最小乘积子集加上 $a_i$ 组成（前提是 $a_j$ 不是 $a_i$ 的相邻元素）。

最后，题目的答案就是 $\min\limits_{i=0}^{n-1} dp[i]$。

代码

下面是用 Python 实现上面的动态规划算法的代码：

from typing import List

def min_product_subset(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    dp = [set() for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        if i == 0:
            dp[i] = {nums[i]}
        else:
            dp[i] = {nums[i]}
            for j in range(i):
                if nums[i] not in dp[j] and nums[j] != nums[i] - 1 and nums[j] != nums[i] + 1:
                    prod = nums[i] * prod_subset(dp[j])
                    if not dp[i] or prod < nums[i] * prod_subset(dp[i]):
                        dp[i] = dp[j] | {nums[i]}
    return min([prod_subset(s) for s in dp])

def prod_subset(nums: set) -> int:
    prod = 1
    for x in nums:
        prod *= x
    return prod

代码中，min_product_subset 函数是主函数，它的参数是一个列表 nums，表示输入的整数数组；返回值是数组的最小乘积子集的乘积。

prod_subset 函数是一个辅助函数，它的参数是一个集合 nums，表示一个子集；返回值是这个子集中所有元素的乘积。

在主函数中，我们首先定义一个二维数组 dp，用来存储以每个位置 $i$ 结尾的最小乘积子集。然后我们用一个双重循环来遍历所有可能的组合，对于每个组合，判断它是否符合题目要求，如果符合就更新当前位置的最小乘积子集。最后，我们返回 dp 中最小的乘积即可。

值得注意的是，为了避免重复，我们在组合时判断 $a_j$ 是否在之前已经出现过，并且还要排除 $a_i$ 与 $a_j$ 相邻的情况，这些操作都在代码中进行了处理。

总结

本题是一道比较有挑战性的动态规划问题，实现起来需要一定的思维和技巧。但是，如果我们仔细分析题目并理解递推公式，就能很快地写出正确的代码。