股票购买最大化问题

简介

股票购买最大化问题是一个常见的动态规划问题。它的目标是在给定的一组股票价格中，找到一个购买方案，使得在卖出股票之前最大化股票价值。

假设股票价格为 p[1,2,3,...,n]，我们可以在第 i 天购买 i 只股票。则购买最大股票的问题可以定义为：

找到一组股票购买方案 {x[1],x[2],...,x[n]}，其中 x[i] 表示在第 i 天购买了多少只股票，使得最终总收益最大。

当然，我们还需要满足以下几条限制条件：

1. 每天的购买量不能超过当天的股票数量；
2. 我们必须在卖出之前卖出已购买的所有股票；
3. 我们只能在卖出之后再次购买。

解法

为了解决这个问题，我们可以使用动态规划。假设在第 i 天之前，我们购买了 y[i] 只股票，并且在第 i 天卖出了这些股票。则我们可以得到以下的状态转移方程：

dp[i][j] = max(dp[i-1][k]+(j-k)*p[i])，其中 1 ≤ k ≤ j ≤ min(y[i]+1, i)。

这个方程的意思是，在第 i 天，如果我们要买 j 只股票，则我们可以从前一天任意购买 0 ~ min(y[i],j-1) 只股票，然后卖出，并计算总收益（即买入的价格乘以卖出价格）的最大值。

我们可以使用一个二维数组 dp[i][j] 来存储状态。其中 dp[i][j] 表示在第 i 天购买 j 只股票能得到的最大收益。

以下是具体的实现代码：

def max_profit(prices):
    n = len(prices)
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            for k in range(0, j):
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][k] + (j - k) * prices[i - 1])
    return dp[n][n]

这段代码的时间复杂度是 O(n^3)。我们可以看到，在第 i 天，我们需要遍历 i 个 j 取值和 j 个 k 取值，因此总共需要遍历 n^3 次。

但实际上，因为 j 的取值范围受到 min(y[i]+1,i) 的限制，因此我们可以对算法进行优化。具体来说，我们只需要在第二重循环时从 max(1,j-y[i]-1) 开始遍历，就可以使时间复杂度优化压缩为 O(n^2)。

以下是优化后的实现代码：

def max_profit(prices):
    n = len(prices)
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            for k in range(max(1, j - y[i] - 1), j):
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][k] + (j - k) * prices[i - 1])
    return dp[n][n]

总结

股票购买最大化问题是一个非常典型的动态规划问题。我们可以使用状态转移方程来描述问题，采用二维数组来存储状态，然后通过递推计算得到最终的最大收益。

当然，我们还可以通过一些小技巧进行时空复杂度的优化，从而得到更加高效的算法。