计算二叉树路径中奇数位 AND 的数量

本文介绍如何计算二叉树路径中奇数位 AND 的数量。具体地，给定一棵二叉树和一个整数 $Q$，对于每个节点 $u$，需要计算从 $u$ 开始的路径中，长度为奇数的子路径（即 $u \to v_1 \to v_2 \to \dots \to v_k$，$k$ 为奇数）的 AND 值为 $Q$ 的数量。

我们可以使用树上差分的方法求解。具体地，我们可以定义一个长度为 $n$ 的数组 $a$，其中 $a_i$ 表示根到节点 $i$ 的路径中，长度为奇数的子路径的 AND 值。然后，我们会维护一个长度为 $n$ 的数组 $d$，其中 $d_i$ 表示节点 $i$ 的子树中以其为起点，长度为奇数，且以其为中点的子路径的 AND 值为 $Q$ 的数量。这里的“以其为中点”指的是：如果路径长度为 $k$（$k$ 为奇数），则路径必须含有一个点 $i$，使得 $i$ 到 $u$ 的距离等于 $(k-1)/2$，其中 $u$ 是路径的起点（也就是它到 $u$ 的距离为 $(k+1)/2$）。

接下来，我们考虑如何计算 $d$ 数组。我们可以使用类似前缀和的思想，从根节点开始遍历树，然后对于每个节点 $u$，我们令 $s$ 表示从根节点到 $u$ 的路径中的长度为奇数的子路径的 AND 值。然后，我们遍历 $u$ 的所有子节点 $v$，然后对于每个子节点 $v$，我们令 $t$ 表示从 $v$ 出发的、长度为奇数、以 $u$ 为中点的路径的个数，其中的路径必须包含 $u$ 和 $v$（如果 $u$ 不是路径中的中点，那么 $v$ 就是中点）。然后，我们令 $d_v=d_v+t$，$d_u=d_u+t$，$s=s & a_v$。其中，$&$ 表示按位与运算。这个过程可以通过树状数组或线段树实现，时间复杂度为 $O(n \log n)$。

最后，我们可以使用一个类似前缀和的过程来计算答案。具体地，我们从根节点开始遍历树，然后对于每个节点 $u$，我们令 $t$ 表示从 $u$ 开始的、长度为奇数的子路径，其 AND 值为 $Q$ 的数量。我们可以计算 $t$ 的值，然后令 $ans_u=ans_{\text{parent}(u)}+t$，其中 $\text{parent}(u)$ 表示节点 $u$ 的父节点。这个过程的时间复杂度为 $O(n)$。

下面是使用 Python 实现上述算法的代码片段（为了简化，这里没有包括树状数组或线段树的代码）：

n,q=map(int,input().split())
a=[0]*n # a[i] 表示根到节点 i 的路径中，长度为奇数的子路径的 AND 值
d=[0]*n # d[i] 表示节点 i 的子树中，以其为起点，长度为奇数，以其为中点的子路径的 AND 值为 Q 的数量

# 计算 a 数组
def dfs1(x,fa):
    for y in g[x]:
        if y==fa:
            continue
        dfs1(y,x)
        a[x]=a[x]&a[y]
    a[x]=a[x]&v[x]

# 计算 d 数组
def dfs2(x,fa):
    s=v[x]
    for y in g[x]:
        if y==fa:
            continue
        dfs2(y,x)
        t=0 # 从 y 出发的、长度为奇数、以 x 为中点的路径的数量
        for k in [1,-1]:
            p=(k+a[y])&1
            q=((k+s)&1)&p
            t+=d[y][q]
        d[y][a[x]&1]+=t
        d[x][a[y]&1]+=t
        s&=a[y]
    d[x][a[x]&1]+=1

# 计算答案
def dfs3(x,fa):
    t=0 # 从 x 开始、长度为奇数，AND 值为 Q 的子路径的数量
    for k in [1,-1]:
        p=(k+a[x])&1
        q=((k+q)&1)&p
        t+=d[x][q]
    ans[x]=ans[fa]+t
    for y in g[x]:
        if y==fa:
            continue
        dfs3(y,x)

dfs1(0,-1)
dfs2(0,-1)
dfs3(0,-1)