最大化选定元素的总和

本题的任务是从一个矩阵中选择 K 个元素，使得它们的总和最大，并且每个选定的元素必须在选定的行元素之前。

算法思路

首先，我们可以将矩阵按照每行的元素从大到小排序，这样每行前 K 个元素就是我们需要选择的元素。

接下来，我们可以使用一个最大堆来维护当前选择的 K 个元素。我们将每行前 K 个元素加入堆中，然后每次从堆中选择当前最大的元素加入结果中，并将其所在行的下一个元素加入堆中。重复这个过程 K 次即可得到最大化选定元素总和的结果。

注意，在实现中需要特别处理矩阵中某些行元素不足 K 个的情况，比如可以将这些行的下一个元素设为一个极小值。

代码实现

以下是 Python 代码的实现。

import heapq

def max_selected_sum(matrix, K):
    # 将矩阵按行的元素从大到小排序
    sorted_matrix = [sorted(row, reverse=True) for row in matrix]

    # 初始化最大堆
    heap = [(-row[i], row, i) for row in sorted_matrix for i in range(K)]
    heapq.heapify(heap)

    # 选择 K 个元素并计算总和
    selected_sum = 0
    for _ in range(K):
        val, row, i = heapq.heappop(heap)
        selected_sum -= val
        if i < len(row) - 1:
            heapq.heappush(heap, (-row[i+1], row, i+1))

    return selected_sum

总结

本题解中介绍了一种利用最大堆实现的算法，它的时间复杂度为 $O(nK\log n)$，其中 $n$ 是矩阵的行数。虽然它的时间复杂度较高，但是它的空间复杂度为 $O(nK)$，在 $nK$ 不太大的情况下可以得到较好的效率。

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