最大化二进制字符串所需的最少操作数

介绍

在计算机领域，二进制字符串（Binary String）是一个仅包含数字 0 和 1 的字符串。我们可以通过一系列操作将二进制字符串转换为目标字符串。

例如，给定一个二进制字符串 "010110"，我们希望将其转换为目标字符串 "111100"。 通过将第1个位与第2个位互换，第4个位与第5个位互换，第3个位取反，可以得到目标字符串。

在这个场景中，我们仅允许进行两种操作:

• 交换位：给定两个位置，可以将它们互换。
• 取反位：给定一个位置，可以将其数字取反（0 变为 1 或 1变为0）。

对于一个二进制字符串和一个目标字符串，我们可以通过一系列操作将二进制字符串转换为目标字符串。然而，每一个操作都会消耗时间，因此我们必须选择最小化操作数量的转换方案。

解决方案

本题需要找到一种最小化操作数量的转换方案，我们可以通过以下步骤解决问题：

1. 判断二进制字符串是否合法。

   对于一个二进制字符串，每一位只能是 0 或 1。如果不合法则无法转化为目标字符串，直接返回 -1。

2. 计算零和一的数量。

   对于二进制字符串和目标字符串，分别计算其中 0 和 1 的数量。我们首先需要对二进制字符串进行一定的操作使得其包含尽可能多的 0 或 1，从而能够和目标字符串匹配。

3. 计算交换操作数量。

   在 1.2 步骤中，我们选择将二进制字符串转化为 0 或 1 尽可能多的字符串，但这并不保证解法。我们需要计算出使得最终字符串与目标字符串对应位置相同的最小操作数。对于每个位置，如果二进制字符串和目标字符串不同，则需要进行一次操作。需要注意的是，如果两个字符串中对应位置的数字都为 0 或 1，则不需要进行任何操作。

4. 计算取反操作数量。

   对于每个位置，如果二进制字符串和目标字符串对应位置的数字不同，我们可以考虑将这一位进行取反操作。但是，这并不一定是最小化操作数量的解法。我们需要计算出两种解法的操作次数，以较小值为最终的取反操作数量。

5. 返回总共的操作数量。

   将 3 步骤和 4 步骤的结果相加即为最小化操作数量的方案。

代码实现

def minimum_operations(binary_string: str, target_string: str) -> int:
    # 判断二进制字符串是否合法
    if set(binary_string) - {'0', '1'}:
        return -1

    # 计算 0 和 1 的数量
    count_binary_0 = binary_string.count('0')
    count_binary_1 = binary_string.count('1')
    count_target_0 = target_string.count('0')
    count_target_1 = target_string.count('1')

    # 根据数量差计算操作数
    count_swap = abs(count_binary_0 - count_target_0) + abs(count_binary_1 - count_target_1)
    count_not = len([i for i in range(len(binary_string)) if binary_string[i] != target_string[i]])
    count_not_min = len([i for i in range(len(binary_string)) if binary_string[i] == target_string[i] == '1' or binary_string[i] == target_string[i] == '0'])

    # 返回操作总数
    return -1 if count_not_min != len(target_string) else count_swap + min((count_not - count_not_min) // 2, len(target_string) - count_not_min) 

以上是一个简单的 Python 实现，时间复杂度为 $O(n)$，其中 $n$ 为字符串长度。