两个字符串之间所需的最小交换使一个字符串严格大于另一个

在编程中，我们经常需要对字符串进行比较和排序的操作。有时候，我们需要把一个字符串变成另一个字符串的严格大于它的形式。这时候，我们就需要求出这两个字符串之间所需的最小交换次数，才能使一个字符串严格大于另一个。

问题描述

我们假设有两个字符串 $a$ 和 $b$，它们的长度都相等，且仅由小写字母组成。现在我们需要交换 $a$ 中的某些字符，使得 $a$ 严格大于 $b$。同时，交换次数要尽可能的小。

需要注意的是，如果两个字符在 $a$ 中的顺序发生了变化，它们在 $b$ 中的顺序也必须相应发生变化。

解决方法

这个问题实际上是一个逆序对问题。我们可以把字符串 $a$ 和 $b$ 按照字典序排列，得到它们的排列 $A$ 和 $B$。然后我们从右往左遍历字符串 $A$ 和 $B$，找到第一个不满足 $A_i>B_i$ 的位置 $i$。为了使 $A$ 严格大于 $B$，我们需要找到一个位置 $j>i$，满足 $A_j<B_i$，并交换 $A_i$ 和 $A_j$。为了使交换的次数最小，$j$ 应该尽可能地小。

交换 $A_i$ 和 $A_j$ 后，我们需要调整 $A$ 的顺序，使得 $A$ 的前 $i+1$ 个字符与 $B$ 的前 $i+1$ 个字符相等。我们可以把 $A$ 的前 $i+1$ 个字符和 $B$ 的前 $i+1$ 个字符分别插入一个桶中，然后逐个比较每个字符在 $A$ 和 $B$ 中的数量，就可以得到交换的次数。

代码实现

下面是一个使用 Python 实现的示例代码：

def min_swap(a: str, b: str) -> int:
    n = len(a)
    a = list(a)
    b = list(b)
    a1 = sorted(list(a))
    b1 = sorted(list(b))
    if a1 != b1:
        return -1
    ans = 0
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        if a[i] >= b[i]:
            continue
        j = i - 1
        while j >= 0 and a[j] == a[i]:
            j -= 1
        j = max(j, -1)
        for k in range(i, n):
            if a[k] <= b[i]:
                ans += 1
                a[k], a[j + 1] = a[j + 1], a[k]
                j += 1
        break
    return ans

该函数的时间复杂度为 $O(n\log n)$，其中 $n$ 是字符串的长度。