对的最大长度链 | DP-20

DP-20题是一道典型的动态规划问题，要求在给定的一组数对中，找到最长的一条链，使得链中每个数对的第二个元素都大于前一个数对的第一个元素。

问题背景

给出 $n$ 个数对。在每个数对中，第一个数字总是比第二个数字小。定义在这样的一组数对中，链是由第一个数字递增排序而第二个数字递增排序得到的。如果我们有 $(a, b)$ 和 $(c, d)$，那么 $(a, b)$ 和 $(c, d)$之间形成的链当且仅当 $b<c$。

举个例子，如果我们有如下数对：

[(5, 24), (15, 25), (27, 40), (50, 60)]

则最长的链为 [(5, 24), (27, 40), (50, 60)]。

思路分析

这是一道经典的动态规划问题。可以从以下两个方面考虑：

• 排序：将所有数对按照第一个元素递增的顺序进行排序。
• DP：使用长度为 $n$ 的数组 $dp$，其中 $dp[i]$ 表示前 $i$ 个数对中构成最长链的数对数量。

然后我们可以按照以下方式进行迭代：

for j in range(i):
  if pairs[j][1] < pairs[i][0]: # 如果满足条件
    dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)

其中，i 和 j 都是下标，pairs 是我们按第一个元素递增顺序排序的整个数对的列表。

最终我们要输出的结果应该是 $dp$ 数组的最大值。