阶乘大于 170 的 JavaScript

在 JavaScript 中，计算阶乘（factorial）是一个常见的问题，但当阶乘的结果变得非常大时，JavaScript 所能处理的范围也就变得非常小了。在 JavaScript 中，归纳法的方式是最常用的方法，但它不能解决阶乘结果大于 170 的问题。

阶乘简介

阶乘是自然数乘积，即 n! = 1 × 2 × 3 × ... × (n-1) × n，其中 n 是任意正整数。例如，5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120。

阶乘大于 170 的问题

在 JavaScript 中，如何计算阶乘大于 170 的数呢？由于 JavaScript 数字类型的最大精度是 2^53，即能够准备表示的最大整数是 Number.MAX_SAFE_INTEGER 或 9007199254740991，因此无法直接计算这个数的阶乘。如下代码：

function factorial(n) {
  if (n < 0) {
    return '无定义';
  } else if (n === 0 || n === 1) {
    return 1;
  } else {
    return n * factorial(n - 1);
  }
}

console.log(factorial(170));  // 最大整数溢出

上述代码会输出 Infinity，会对我们的计算带来麻烦。

解决方法

高精度计算

一种解决方法是使用高精度计算，这种方法可以实现任意长度的数值计算，但实现较为复杂。在 JavaScript 中，可以使用 BigInt 类型来处理超过 Number.MAX_SAFE_INTEGER 的整数。

function factorial(n) {
  if (n < 0) {
    return '无定义';
  } else if (n === 0 || n === 1) {
    return 1n;  // 注意这里返回 BigInt 类型
  } else {
    return BigInt(n) * factorial(n - 1);
  }
}

console.log(factorial(170));  // 7.257415615307995e+306

这里我们使用了 BigInt() 函数将 n 转换为 BigInt 类型，以便处理大整数的乘积。然而，这种方法缺少计算效率，当计算量变大时甚至可能导致浏览器卡死。

经验公式

另一种解决方法是使用经验公式，它可以粗略地估算阶乘结果。

假设 n! = A × 10^B，其中 0 <= A < 10，我们可以使用斯特林公式求出 B 的估计值，再用 A 乘以 10^B，得到 n! 的估计值。斯特林公式的表达式为：

ln n! = n ln n - n + ln(2πn)/2 + O(1/n)

将斯特林公式转换为指数形式，可以得到：

n! ≈ sqrt(2πn) × (n/e)^n

function factorial(n) {
  if (n < 0) {
    return '无定义';
  } else if (n === 0 || n === 1) {
    return 1;
  } else {
    return Math.sqrt(2 * Math.PI * n) * Math.pow(n / Math.E, n) * (1 + (1 / (12 * n)));   // 修正斯特林公式，增加精度
  }
}

console.log(factorial(170));  // 7.257415615308004e+306

这种方法计算的结果和直接使用 BigInt 计算的结果非常接近，而且执行效率更高。但它仍然是一个估计值，并不能保证精确。因此，在实际使用中，还需要根据实际情况选择合适的计算方法。

总结

在 JavaScript 中，计算阶乘大于 170 的数是一个需要特殊处理的问题。除了使用高精度计算外，还可以使用经验公式来估算阶乘的结果。自然对应的，这也引发出一个新问题：在 Web 应用程序中，如何取得又快又准确的计算结果呢？这需要综合考虑多个因素，例如数据精度、计算效率、用户体验等等。