阶梯增长或缩聚

阶梯增长或缩聚是一种常用的代码优化技术，通过将一些操作的执行次数与输入规模 n 相关联的某些常量变量或指数调整为阶梯状，以达到优化代码效率的目的。

阶梯增长

阶梯增长通常适用于一些常见的循环操作，如下所示：

for i in range(1, n):
    for j in range(i):
        print(i, j)

在这段代码中，第二个循环的执行时间是由 i 决定的，因此它的执行次数可以表示为 1+2+3+...+n-1，是一个等差数列，其和为 n(n-1)/2，使用数学公式可以得到 O(n^2) 的复杂度。通过阶梯增长的优化，可以将这段代码的复杂度降为 O(n)：

for i in range(1, n):
    for j in range(i):
        print(i, j)
    print()

这段代码在每次执行完内部循环之后，增加了一个换行符，因此内部循环的最大执行次数变成了 1+2+3+...+n-1，是一个等差数列，其和为 n-1，可以得到 O(n) 的复杂度。

阶梯缩聚

阶梯缩聚和阶梯增长类似，不同之处在于它不是通过增加循环次数来达到优化的目的，而是通过减少重复计算来优化代码效率。

例如，有如下代码实现斐波那契数列：

def fibonacci(n):
    if n == 0:
        return 0
    if n == 1:
        return 1
    return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)

这段代码的复杂度是 O(2^n)，因为每次递归都会计算两个子问题的值。通过阶梯缩聚的优化，可以将复杂度降为 O(n)：

def fibonacci(n):
    if n == 0:
        return 0
    if n == 1:
        return 1
    a, b = 0, 1
    for i in range(2, n+1):
        c = a + b
        a, b = b, c
    return b

这段代码使用了一个循环来逐步计算斐波那契数列的值，并将计算过程中的重复计算消除掉，可以得到 O(n) 的复杂度。

阶梯缩聚在一些需要频繁进行递归计算的场景中非常适用，通过把递归转化为循环，可以大幅提高代码效率。

总结

阶梯增长和阶梯缩聚是两种常见的代码优化技术，可以通过增加循环次数或减少重复计算来优化代码效率。在实际编程中，我们需要灵活运用这些技术来提高代码的性能。