C++ 中的 B*-Trees 实现

B*-Trees 是一种自平衡的搜索树，它能够提供 O(log n) 级别的查找、插入和删除操作的时间复杂度。它是 B-Trees 的一种变种，主要是为了优化磁盘 I/O 操作而设计的。

B-Trees

在介绍 B*-Trees 之前，我们需要先了解一下 B-Trees。B-Trees 是一种平衡的搜索树，它的特点是每个节点存储多个元素。每个节点的元素按照升序排列，并且每个元素都有一个指向下一个节点的指针。节点的元素数量称为节点的阶数（order），通常用一个字母 m 表示。

B-Trees 有以下几个特性：

• 根节点至少有两个子节点。
• 每个非根节点至少有 m/2 个子节点。
• 每个节点中的元素数量 n 满足 m/2 <= n <= m。
• 所有叶子节点都在同一层，并且不存储任何元素信息。

B-Trees 的查找、插入、删除操作的时间复杂度为 O(log n)。

B*-Trees

B*-Trees 是 B-Trees 的一种变种，它主要是为了优化磁盘 I/O 操作而设计的。在 B*-Trees 中，每个节点的元素数目是固定的，比如一个 B*-Tree 的节点阶数为 5，那么每个节点存储 4 个元素。这与 B-Trees 不同，B-Trees 中每个节点的元素数量是动态的。

B*-Trees 的特性如下：

• 根节点至少有两个子节点。
• 每个非根节点有固定的 l 个子节点，其中 l 称为节点的阶数。
• 叶子节点存储所有元素信息。
• 所有叶子节点都在同一层，并且不存储任何指针信息。
• 所有非叶子节点的元素数量满足 l-1 <= n <= 2l-1。

B*-Trees 的查找、插入、删除操作的时间复杂度也为 O(log n)。

B*-Trees 与 B-Trees 的区别在于，B-Trees 通过动态调整节点的元素数量来保持平衡，而 B*-Trees 通过固定节点元素数量来避免节点分裂的成本。

B*-Trees 的实现

B*-Trees 的实现可以用 C++ 实现。以下是一个简单的 B*-Trees 类的实现：

const int MAX_CHILDREN_PER_NODE = 5;

class BStarNode {
public:
    BStarNode() {
        parent_ = nullptr;
        is_leaf_ = true;
        size_ = 0;
    }

    int find(int value) {
        int index = 0;
        while (index < size_ && values_[index] < value) {
            ++index;
        }
        return index;
    }

    void insert(int value) {
        if (size_ == MAX_CHILDREN_PER_NODE) {
            split();
            return parent_->insert(value);
        }
        int index = find(value);
        for (int i = size_; i > index; --i) {
            values_[i] = values_[i - 1];
            children_[i + 1] = children_[i];
        }
        values_[index] = value;
        ++size_;
        if (!is_leaf_) {
            ++index;
            children_[index]->parent_ = this;
            children_[index]->insert(value);
        }
    }

    void split() {
        int mid_index = size_ / 2;
        int value = values_[mid_index];

        BStarNode* right_node = new BStarNode;
        right_node->size_ = size_ - mid_index - 1;
        right_node->is_leaf_ = is_leaf_;
        for (int i = mid_index + 1; i < size_; ++i) {
            right_node->values_[i - mid_index - 1] = values_[i];
        }
        if (!is_leaf_) {
            for (int i = mid_index + 1; i <= size_; ++i) {
                right_node->children_[i - mid_index] = children_[i];
            }
        }
        size_ = mid_index;
        if (parent_) {
            insert_into_parent(value, right_node);
        } else {
            create_new_root(value, right_node);
        }
    }

    void insert_into_parent(int value, BStarNode* right_node) {
        int index = parent_->find(value);
        for (int i = parent_->size_; i > index; --i) {
            parent_->values_[i] = parent_->values_[i - 1];
            parent_->children_[i + 1] = parent_->children_[i];
        }
        parent_->values_[index] = value;
        parent_->size_++;
        parent_->children_[index + 1] = right_node;
        right_node->parent_ = parent_;
    }

    void create_new_root(int value, BStarNode* right_node) {
        BStarNode* new_root = new BStarNode;
        new_root->size_ = 1;
        new_root->values_[0] = value;
        new_root->children_[0] = this;
        new_root->children_[1] = right_node;
        parent_ = new_root;
        right_node->parent_ = new_root;
    }

    int size_;
    bool is_leaf_;
    int values_[MAX_CHILDREN_PER_NODE - 1];
    BStarNode* children_[MAX_CHILDREN_PER_NODE];
    BStarNode* parent_;
};

class BStarTree {
public:
    BStarTree() {
        root_ = nullptr;
    }

    void insert(int value) {
        if (!root_) {
            root_ = new BStarNode;
            root_->insert(value);
        } else {
            root_->insert(value);
        }
    }

    BStarNode* root_;
};

上面的代码实现了 B*-Trees 的查找和插入操作。这里使用了一个 BStarNode 类代表节点，每个节点都有固定的 l 个子节点。插入操作添加一个新的元素到节点中时，如果节点已经满了，就需要拆分节点。如果插入的元素不是叶子节点，就把它添加到对应的子节点中。

总结

B*-Trees 是一种非常高效的搜索树，特别适合用于数据量大、磁盘 I/O 操作频繁的场景中。它通过固定节点元素数量避免了节点分裂的成本，从而提高了性能。B*-Trees 的实现相对于 B-Trees 略微复杂一些，但是仍然是非常经典的数据结构之一。