门 | GATE-CS-2015（套装3）| 第 45 题

本题是 GATE-CS-2015（套装3）中的第 45 题，是计算机科学界中经典的问题之一。本题旨在考察程序员对于数据结构和算法的理解和运用能力。

题目描述

有一个由 n 个节点组成的有向无环图（DAG），每个节点都有一个非负的整数权值。只有一个节点是入度为 0 的起始节点，并且只有一个节点是出度为 0 的终止节点。我们需要找到一条从起始节点到终止节点的路径，使得路径上所有节点的权值之和最大化。路径的权值之和定义为路径上所有节点权值的总和。请设计一个算法，找出这条路径。

输入格式

输入以 n 开头的一行，表示有向无环图中的节点数。

接下来是 n 行的节点描述，每行描述一个节点。每个节点用三个整数表示：节点的编号、节点的权值和节点的后继节点个数。每个节点的后继节点用节点编号表示，中间用空格隔开。

最后一行是两个整数，表示起始节点和终止节点的编号。

输出格式

输出一行，包含一个整数，表示路径上所有节点的权值之和的最大值。

示例

输入：

5
0 5 2 1 4
1 3 1 3
2 4 1 3
3 2 1 2
4 1 0
0 4

输出：

13

解题思路

本题可以使用动态规划的方法来解决。算法的思路如下：

1. 创建一个大小为 n 的数组 dp ，用于存储每个节点的最大路径权值；
2. 从终止节点开始，初始化终止节点的最大路径权值为终止节点本身的权值；
3. 从终止节点的前驱节点开始，遍历每个节点：
   • 计算当前节点的最大路径权值为当前节点的权值加上后继节点的最大路径权值；
   • 更新 dp 数组中当前节点的最大路径权值；
4. 最后，最大路径权值即为起始节点的最大路径权值。

实现代码

def get_max_path_weight(n, nodes, start, end):
    # 初始化 dp 数组
    dp = [0] * n
    
    # 设置终止节点的最大路径权值为终止节点本身的权值
    dp[end] = nodes[end][1]
    
    # 从终止节点的前驱节点开始遍历
    for i in range(end - 1, start - 1, -1):
        # 计算当前节点的最大路径权值
        for j in nodes[i][2:]:
            dp[i] = max(dp[i], nodes[i][1] + dp[j])
    
    # 返回起始节点的最大路径权值
    return dp[start]
    
# 读取输入
n = int(input())
nodes = []
for _ in range(n):
    nodes.append(list(map(int, input().split())))
start, end = map(int, input().split())

# 调用函数并输出结果
max_path_weight = get_max_path_weight(n, nodes, start, end)
print(max_path_weight)

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n^2)，其中 n 为有向无环图中的节点数。需要遍历每个节点以及其后继节点，最坏情况下需要遍历所有节点。
• 空间复杂度：O(n)，需要使用一个大小为 n 的数组 dp 来存储每个节点的最大路径权值。

以上给出的代码片段为 Python 语言实现的伪代码，供参考。具体的实现可以根据不同编程语言进行调整。