门| GATE-CS-2017（套装1）|第 45 题

令 A 为 m×n 实值平方对称矩阵，秩为 2，表达式如下。

考虑以下语句

(i)  One eigenvalue must be in [-5, 5].
(ii) The eigenvalue with the largest magnitude 
     must be strictly greater than 5.

上面关于 A 的原值的哪些陈述是/是必然正确的?
(A) (i) 和 (ii)
(B) (i) 仅
(C) (ii) 仅
(D)既不是 (i) 也不是 (ii)答案：(乙)
说明：作为 A 矩阵的秩 = 2，因此

=> n-2 个特征值为零。让$\lambda_1, \lambda_2, 0, 0$是特征值。
鉴于$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} A_{ij}^2 = 50$ ————(一)

我们知道$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} A_{ij}^2 =$ (AA) ^{T 的}迹线 = A ^{2 的}迹线(因为 A 是对称的)= $\lambda_1^2 + \lambda_2^2+0+0$ ————(2)

从(1)和(2)：
$\lambda_1^2 + \lambda_2^2=50$

因此，至少一个给定的特征值位于 [-5,5](只有 1 是正确的)。

此解决方案由Sumouli Chaudhary 提供。
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