等边三角形内放置三个相等的圆时，一个圆与等边三角形的面积之比

给定三个相等的圆放置在等边三角形内，使得每个圆都与等边三角形的边和其他圆相切。任务是找出一个圆的面积与等边三角形的面积之比。

解决方案：
下面是圆如何内接在三角形中的图像：

现在因为 AB 和 BC 与圆心为 P 的圆相切，所以 PQ 将垂直于 BC，而 PB 将平分角 ABC。因此角 PBQ=30°，因为 ABC 是等边三角形，角 ABC=60°。

考虑三角形 PBQ，tan30°= PQ/BQ = 1/√3

BQ = PQ*√3 = R*√3（R 为半径一圆）。同理 RC = R*√3

现在 BC = BQ+QR+CR = R√3 + 2R + R√3 = 2R(√3 +1)
因此，圆的面积与三角形的面积之比由下式给出：

$Ratio = \frac{area(circle)}{area(triangle)}$

Since, 

$area(circle) = \pi*r^{2}$[Tex]area(triangle) = \frac{\sqrt{3}(2r(\sqrt{3}+1))^{2}}{4}    [/Tex]

Therefore, the ratio is given by: 

$Ratio = \frac{\pi r^{2}}{\frac{\sqrt{3}(2r(\sqrt{3}+1))^{2}}{4}}$[Tex]Ratio = \frac{\pi}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)^{2}}    [/Tex]