计算正好有 K 个除数的数组元素

如果我们需要寻找一个数组中正好有 K 个因子的元素，我们可以采用遍历数组并逐一检查每个元素的因子的方法。这种方法的时间复杂度是 $O(n\sqrt{n})$，其中 $n$ 是数组的长度，因为需要检查每个元素的因子，最多达到 $\sqrt{n}$。然而，我们可以采用更快的方法，如下所述。

方法

设 $d(n)$ 为 $n$ 的因子数。 如果 $n=p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k}$，则 $d(n)=(e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_k+1)$。 因此，我们可以预处理每个可能的因子数量 $d$，并将其与数组元素相关联。

为了做到这一点，我们可以先预处理数 $n$ 的因子数，然后针对每个因子数量，找到所有与之相关联的数。最后，对于每个数组元素，我们可以检查其因子数是否等于 K。

代码

以下是 Python 代码示例：

def generate_divisor_counts(n: int) -> List[int]:
    """
    返回一个长度为 n+1 的数组，其中第 i 个元素表示 i 的因子数。
    """
    divisor_counts = [0] * (n + 1)
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(i, n + 1, i):
            divisor_counts[j] += 1
    return divisor_counts


def find_numbers_with_k_divisors(arr: List[int], k: int) -> List[int]:
    divisor_counts = generate_divisor_counts(max(arr))
    res = []
    for num in arr:
        if divisor_counts[num] == k:
            res.append(num)
    return res

该代码使用了两个函数。第一个函数 generate_divisor_counts 生成长度为 $n+1$ 的数组，其中元素 $i$ 表示 $i$ 的因子数。 该函数使用了 $O(n^2)$ 的时间复杂度。

第二个函数 find_numbers_with_k_divisors 针对输入的数组和目标因子数量 $k$，使用了预处理的计数数组来查找满足条件的数组元素。该函数的时间复杂度为 $O(n\log n)$。

总结

我们可以使用预处理和数学公式，快速地查找数组中正好具有目标因数数量的元素。通过在预处理时使用数学公式，我们可以在更短的时间内处理每个元素。