如何计算两点之间的距离？

连接两点的线段的长度定义为它们之间的距离。连接指定坐标的线段长度可用于计算坐标几何中两点之间的距离。让我们看一下计算二维或三维平面中两点之间距离的公式。

两点之间的距离是多少？

连接任意两点的线段的距离就是它们之间的距离。只有一条线连接两点。结果，可以通过确定连接两个点的线段的长度来计算两个点之间的距离。例如，如果 A 和 B 是两个点并且 AB = 20 cm，则意味着 A 和 B 之间的距离为 20 cm。

连接两点的线段的长度是它们之间的距离（但这不能是连接它们的曲线的长度）。需要注意的是，两地之间的距离总是正的。

两点之间的距离公式

距离公式用于使用提供的坐标确定两点之间的距离。我们使用二维距离公式或欧几里得距离公式来计算二维平面中任意两点之间的距离。

两点之间的距离公式

坐标为 (x ₁ , y ₁ ) 和 (x _2, y ₂ ) 的两点之间的距离 d 的公式为

$d = \sqrt{[(x_2 - x_1 )^2 +(y_2 - y_1)^2]}$

这称为距离公式。

要找到 3-D 平面中给定的两点之间的距离，我们可以应用 3D 距离公式，如下所示，

$d = \sqrt{[(x_2 - x_1 )^2 +(y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1 )^2]}$

两点间距离公式的推导

为了获得计算二维平面上两点之间距离的公式，假设有两个点的坐标为A (x ₁ ,y ₁ )和B (x ₂ ,y ₂ )。接下来，我们将假设连接 A 和 B 的线段是 AB = d。我们现在将在坐标平面上绘制指定的点并用一条线将它们连接起来。

接下来，我们将使用 AB 作为斜边构造一个直角三角形。

使用毕达哥拉斯定理，

AB ² = AC ² + BC ²

d ² = (x ₂ ​−x ₁ ​) ² + (y ₂ ​−y _1​) ²

这里，给定点之间的垂直距离是| y ₂ – y ₁ |

给定点之间的水平距离为 | x ₂ – x ₁ |

$d = \sqrt{[(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2] }$ （两边取平方根）

因此，证明了求两点之间距离的距离公式。

使用类似的步骤和概念，我们还可以推导出计算 3D 平面中给定的两点之间的距离的公式。

求两点间距离的步骤

以下步骤可用于使用提供的坐标确定两个地点之间的距离：

• 记下坐标平面上两个给定点的坐标，如下所示：A(x ₁ ,y ₁ ) 和 B(x ₂ ,y ₂ )。
• 我们可以使用距离公式来计算两地之间的距离， $d = \sqrt{[(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2]}.$
• 用单位表达给定的答案。

Note: We can apply the 3D distance formula in case the two points are given in 3D plane,

示例问题

问题 1：用给定的坐标 A(1,5) 和 B (2,7) 求两点之间的距离。

解决方案：

Let (x₁, y₁) be (2,7) and (x₂, y₂) be (1,5).

The distance d between the points : $d = \sqrt{[(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2]}$

$\implies \sqrt{[(2-1)^2 + (7-5)^2]}$

$\implies \sqrt{[1^2 + 2^2]}$

$\implies \sqrt{(1+4)} = \sqrt{5} \ units$

The distance between the two points is √5 units.

问题 2：求两点之间的距离，坐标为 P (2,-6,2) 和Q(7, 3, 1)。

解决方案：

Let (x₁, y₁, z₁) be P (2,-6,2) and (x₂, y₂, z₂) be Q (7,3,1).

The distance d between the points P and Q : $d = \sqrt{[(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2+(z_2-z_1)^2]}$

$\implies \sqrt{(7-2)^2+(3-(-6))^2+(1-2)^2)}$

$\implies \sqrt{ 5^2+9^2+(-1)^2}$

$\implies \sqrt{25+81+1}$

$\implies \sqrt{107}\ units$

问题 3：证明直角三角形的顶点是点 (3, 4)、(7, 4) 和 (3, 8)。

解决方案：

Let us say the given points be:

P = (3, 4)

Q = (7, 4)

R = (3, 8)

Now, we will find each vertices of the right-angle triangle by distance formula.

$AB=\sqrt{(7-3)^2+(4-4)^2}=\sqrt{4^2}=4units$ 

$BC=\sqrt{(3-7)^2+(8-4)^2}=\sqrt{(-4)^2+4^2}=4\sqrt{2}units$

$AC=\sqrt{(3-3)^2+(8-4)^2}=\sqrt{4^2}=4units$

As we know the length of the sided of the right-angled triangle, by Pythagoras Theorem;

AB² + AC² = BC²

4²+4²=(4√2​)²

16+16 = 32⟹32 = 32

This proves that ABC is a right-angle triangle.

复平面中两点之间的距离

复平面或两个复数中两点之间的距离z ₁ ​=a+ib 而z ₂ ​=c+id 在复数⟹1−2k=9+4k 平面中是点(a, b) 和(c, d) 之间的距离，给定为，

$| z_2 - z_1 |= \sqrt{[(a − c)^2 + (b − d)^2]}$

问题 4：求两个复数 z ₁ ​= 2−5i 和 z ₂ ​= 7+7i 之间的距离

解决方案：

Here, we have two complex numbers  z₁ = 2-5i and z₂ = 7+7i.

The distance between these complex numbers is equidistance to the two points in the plane, with coordinates, (2,-5) and (7,7).

Thus, distance between the two points is

 $\implies \sqrt{(7-2)^2+(7-(-5))^2}$

$\implies \sqrt{5^2+12^2}\implies \sqrt{25+144}$

$\implies \sqrt{169}\implies13\ units$

Hence, the distance between two complex numbers z_1=2-5i and z_2=7+7i is 13 units.

问题 5：复数 ω 与 z ₁ = -3 – i 相距 6 个单位，与 z ₂ = 3 + 5i 相距 6 个单位。检查由 ω, z ₁ , z ₂组成的三角形是否是直角的。

解决方案：

There are 3 complex numbers ω, z₁, z₂.

As we know the distance between ω and z₁ is 6 units and distance between ω and z₂ is 6 units.

Given,  ω, z₁ = 6 units

ω, z₂ = 6 units

Now, we will find the distance between z₁ and z₂ by using distance formula.

$z_1z_2=\sqrt{(3-(-3)+(5-(-1))}$

$\implies \sqrt{6^2+6^2}$ $\implies \sqrt{36+36}\implies \sqrt{72}$

$\implies 6\sqrt{2} units.$

By Pythagoras Theorem, we have;

(z₁​z₂​)²=(ωz₁​​)²+(ωz₂)​²

$\implies (6\sqrt{2})^2=6^2+6^2$

$\implies 72=36+36\implies 72=72$

Hence, we conclude that the given triangle is right-angle triangle.

问题 6：在 x 轴上找到一个与点 (1, -2) 和 (-2, -3) 等距的点。

解决方案：

We know that any point on the x-axis has an y-coordinate of 0. As a result, we consider the point equidistant from the provided points to be (k,0). i.e., Distance between ( k,0) and (1, -2) = Distance between (k, 0) and (-2, -3).

 $\implies \sqrt{[(1-k)^2 + (-2-0)^2]} = \sqrt{[(-2-k)^2 + (-3-0)^2]}$

$\implies 12 + k^2 -2k + 4 = 4+ k^2 +4k + 9$

$\implies 1-2k= 9+ 4k$

\implies   -4k-2k= 9-1

$\implies -6k=8$

 $\implies k=\frac{-4}{3}$

Therefore, the required point is (k, 0) = $(\frac{-4}{3}, 0).$