在 Modulo p 下找到平方根（集合1，当 p 的形式为4 * i + 3时）

在数论中，Modulo p 下找到平方根是一个重要的问题。尤其当 p 的形式为 4 * i + 3 时，这个问题变得更加有趣和复杂。本文将为程序员讲解如何在这种情况下找到 Modulo p 下的平方根。

什么是 Modulo p？

Modulo p（也称“取模 p”）是对给定的整数 p 取余数的一种运算。例如，如果我们有一个整数 x，那么 x mod p 将返回 x 除以 p 的余数。例如，17 mod 5 返回 2，因为 17 除以 5 余 2。

Modulo p 在密码学、计算机科学和数学中有广泛的应用。在这些领域中，我们通常会面对一个非常大的 p（例如一个大质数），并且需要进行高效的 Modulo p 运算。

什么是平方根？

在数学中，平方根是一个数的二次方等于它的平方根。例如，2的平方根是2，因为2 * 2 = 4。

当我们在 Modulo p 下考虑平方根时，我们想要找到一个数 x，它的平方 mod p 等于另外一个给定的数 y mod p。也就是说，我们要找到一个数 x，使得 (x^2) mod p = y mod p。

如何找到 Modulo p 下的平方根？

前置条件

我们假设 p 是一个质数，且 p 的形式为 4 * i + 3，其中 i 是一个整数。我们还假设 y 是一个在 Modulo p 下的完全平方数（即 y 的平方根存在）。

步骤

1. 首先，我们可以使用费马小定理来检查 y 是否为模 p 下的平方数。费马小定理告诉我们，如果 p 是质数，那么对于任意整数 a， a^p mod p = a mod p。因此，如果我们有 y^((p-1)/2) mod p = 1，那么 y 是模 p 下的完全平方数。如果 y^((p-1)/2) mod p = p-1，那么 y 不是模 p 下的完全平方数。

2. 接下来，我们可以使用欧拉准则来计算 y 的平方根。欧拉准则告诉我们，如果 a 是整数且 p 是质数，那么 a^((p-1)/2) mod p 的值只有可能是 1 或 -1。因此，我们可以计算：

   z = a^((p+1)/4) mod p

   然后，如果 (z^2) mod p = a mod p，那么 z 是 a 的平方根。否则，我们可以计算

   z = (2 * a * (p+1)/4)^((p-1)/2) mod p

   然后，如果 (z^2) mod p = a mod p，那么 z 是 a 的平方根。

代码示例

下面是一个 Python 代码示例，用于找到 Modulo p 下的平方根（集合1，当 p 的形式为 4 * i + 3 时）：

def mod_sqrt(y, p):
    if pow(y, (p-1)//2, p) != 1:
        return "y is not a square mod p"
    elif p % 4 == 3:
        z = pow(y, (p+1)//4, p)
        return z, p-z
    else:
        for z in range(2, p):
            if pow(z, (p-1)//2, p) == p-1:
                break
        w = pow(y, (p-1)//4, p)
        x = pow(y, (p+3)//8, p)
        for i in range(1, (p-3)//4 + 1):
            r = pow(z, 2*i, p)
            t = (w * pow(r+z, (p-1)//2, p)) % p
            u = (w * r) % p
            if pow(t, 2, p) == y:
                return t, p-t
            elif pow(u, 2, p) == y:
                return u, p-u

注意，上述代码只处理集合1的情况。当 p 的形式为 4 * i + 1 时，我们需要使用不同的算法（例如 Tonelli-Shanks 算法）来找到模 p下的平方根。

总结

在 Modulo p 下找到平方根是一个重要且有趣的问题，尤其是当 p 的形式为 4 * i + 3 时。在这种情况下，我们可以使用欧拉准则来找到模 p 下的平方根。程序员可以利用本文所述的方法，快速而准确地找到模 p下的平方根，以满足他们的计算需求。