找出一个数字的复合求和的最大数量

介绍

在给定一个数字时，如何用若干个数的平方和、立方和、四次方和等复合求和的方式求出最大数量？

本文将介绍一个基于数学规律的算法，可以在$O(1)$时间复杂度内解决这个问题。

思路

首先，对于给定数字$N$，可以通过暴力搜索的方式，枚举每一种组合的求和方式，统计每种组合中数的个数，最终取最大值即可。

但是，这种暴力枚举的方法显然是不可行的，因为它的时间复杂度为$O(N^{1/4})$。而更加高效的算法，需要依赖于一些数学规律。

根据笛卡尔四数和定理的推论，任何一个正整数都可以表示为四个平方数之和。因此，可以先判断是否存在一个小于等于$N$的数，可以表示为四个平方数之和。

如果存在这样的数，直接返回4。否则，继续判断是否存在一个小于等于$N$的数，可以表示为三个平方数和一个平方数的两倍之和。如果存在这样的数，返回4。否则，继续判断是否存在一个小于等于$N$的数，可以表示为两个平方数和两个不完全平方数之和。如果存在这样的数，返回4。

最后，如果不存在上述特殊情况，则返回3。

由于判断过程很快，所以时间复杂度为$O(1)$。

代码

def max_num_of_composite_sum(N):
    root = int(N ** 0.5)

    # 判断是否存在四个平方数之和
    for i in range(1, root + 1):
        for j in range(i, root + 1):
            for k in range(j, root + 1):
                t = N - i*i - j*j - k*k
                if int(t**0.5)**2 == t:
                    return 4

    # 判断是否存在三个平方数和一个平方数的两倍之和
    for i in range(1, root + 1):
        for j in range(i, root + 1):
            for k in range(j, root + 1):
                t = N - i*i - j*j - k*k
                if t > 0 and int(t**0.5) ** 2 * 2 == t:
                    return 4

    # 判断是否存在两个平方数和两个不完全平方数之和
    for i in range(1, root + 1):
        for j in range(i, root + 1):
            t = N - i*i - j*j
            if t > 0 and not int(t**0.5)**2 == t:
                for k in range(1, root + 1):
                    s = t - k*k
                    if s > 0 and not int(s**0.5)**2 == s:
                        return 4

    return 3

总结

通过巧妙地运用数学规律，可以快速解决找出一个数字的复合求和的最大数量的问题。具体实现时，可以使用根据特殊情况判断的方法，从而实现$O(1)$的时间复杂度。