计算 N 位数字，使得每个位置都可以被该位置的数字整除

本文将介绍如何编写一个程序，计算 N 位数字，使得每个位置都可以被该位置的数字整除。这个问题可以看做是一个递归问题，我们可以使用分治法来解决。程序的输入是一个整数 N，输出是一个 N 位数字，满足每个位置都可以被该位置的数字整除。

算法分析

假设我们已经解决了 N-1 位数字的问题，在此基础上如何构造 N 位数字呢？我们可以从前往后枚举每个位置上的数字，如果该位置上的数字不能被该位置整除，则回溯到前一个位置重新选择数字。这样可以确保每一步都满足当前位置可以被该位置的数字整除，最终得到的数字就是符合条件的。

代码实现

def findNumber(N):
    result = []
    def helper(cur, used):
        if len(cur) == N:
            result.append(int(cur))
            return
        for i in range(1, 10):
            if i not in used and int(cur+str(i))%(len(cur)+1) == 0:
                helper(cur+str(i), used+[i])
    helper('', [])
    return result

算法复杂度

由于每个位置最多可以有 9 种选择，因此该算法的时间复杂度为 O(9^N)。由于需要存储所有符合条件的数字，因此空间复杂度为 O(9^N)。在实际应用中，由于 N 的值比较小，因此该算法可以在很短的时间内得到结果。

总结

本文介绍了如何编写一个程序，计算 N 位数字，使得每个位置都可以被该位置的数字整除。通过分治法，我们可以把问题转化为求解 N-1 位数字问题，然后从前往后枚举每个位置上的数字。该算法的时间复杂度为 O(9^N)，空间复杂度为 O(9^N)。