生成欧拉 Totient 数组

欧拉 Totient 函数，又称 Euler's Totient function，是用来计算小于等于某个数字的正整数中与这个数字互质的数的个数。因为这个函数的计算可能会被频繁使用，生成一个欧拉 Totient 数组可以大大提高计算效率。

实现方法

我们可以使用动态规划的方式来生成欧拉 Totient 数组。假设我们已经知道了 $1$ 到 $n-1$ 的欧拉 Totient 值，那么对于值为 $n$ 的情况，我们可以先假设它本身是质数，即 $\phi(n) = n-1$。之后，我们再检查它能否被小于 $n$ 的数字整除，如果可以，那么我们只需要将 $n$ 除以这个数字，再将得到的商 $k$ 看做一个新数字，就像我们已经知道了 $\phi(k)$ 一样，我们就能够得到 $\phi(n)$ 了。由于对每个数字的检查只需要进行一遍，因此生成欧拉 Totient 数组的效率是很高的。

代码实现

这里是一个简单的 Python 代码片段来生成欧拉 Totient 数组：

def euler_totient(n):
    phi = [i for i in range(n + 1)]
    for i in range(2, n + 1):
        if phi[i] == i:
            for j in range(i, n + 1, i):
                phi[j] = phi[j] // i * (i - 1)
    return phi

这个函数的实现方法就是上面提到的动态规划方式。我们首先初始化一个列表，将每个数字的欧拉 Totient 值都设为它本身。然后，我们从 $2$ 开始遍历，如果当前数字的欧拉 Totient 值等于它自己，即默认它是质数，我们就开始检查它的倍数，将倍数的欧拉 Totient 值修改为除以 $i$ 再乘以 $(i-1)$。这个操作可以使用除法和乘法更快速地完成。

最后，我们得到的列表就是 $1$ 到 $n$ 所有数字的欧拉 Totient 值。