计算最多 k 圈的路径数

在一个有向图中，从某个点出发，走 k 圈可以到达的点的路径数。

方法

我们可以采用动态规划的方法来计算路径数。令 $f(i,j,k)$ 表示从点 $i$ 出发，走 $k$ 圈到达点 $j$ 的路径数，那么有以下递推式：

$$ f(i,j,k)=\sum_{x\in G_{ji}}f(i,x,k-1) $$

其中 $G_{ji}$ 表示从点 $j$ 出发可以到达的点集。

而最终要求的是从某个点 $s$ 出发，走最多 $k$ 圈可以到达的点的路径数，则有以下式子：

$$ ans=\sum_{i=1}^nf(s,i,k) $$

其中 $n$ 是点的数量。

代码

下面给出一个实现上述算法的 Python 代码。首先需要预处理出所有点能够到达的点集，用二维数组 $g$ 存储。其中 $g[i][j]$ 表示从点 $i$ 出发可以到达的点集合。

from typing import List

def count_path(n: int, edges: List[List[int]], k: int, s: int) -> int:
    g = [[] for _ in range(n)]
    for u, v in edges:
        g[u].append(v)

    f = [[0] * n for _ in range(k+1)]
    f[0][s] = 1
    for t in range(1, k+1):
        for j in range(n):
            for i in g[j]:
                f[t][j] += f[t-1][i]
    
    ans = 0
    for i in range(n):
        ans += f[k][i]
    return ans

该函数的输入参数为点的数量 $n$、边的列表 $edges$，最多圈数 $k$ 和出发点 $s$。输出可以到达的点的路径数。

总结

以上是计算最多 k 圈的路径数的解法。采用动态规划的思路，可以在 $O(n^2k)$ 的时间复杂度内完成计算。