计算数组中的路径

在计算机编程中，数组是最基本的数据结构之一。在一个二维数组中，有多条路径可以被计算出来，本文将介绍一种算法可以计算这些路径。

问题描述

假设有一个m×n的二维数组arr，每个元素arr[i][j]表示在该坐标上的数值。

现在我们从该数组的左上角出发，只能向右或向下移动一步，求出从起点到终点的所有路径上的数值和。

解法分析

递归

对于二维数组中的每个点，它可以往右走一步或往下走一步。那么，从起点开始走，我们可以写一个递归函数来计算路径的数值和。

def calculate_path(arr, i, j):
    if i == len(arr) - 1 and j == len(arr[0]) - 1:
        return arr[i][j]
    elif i == len(arr) - 1:
        return arr[i][j] + calculate_path(arr, i, j+1)
    elif j == len(arr[0]) - 1:
        return arr[i][j] + calculate_path(arr, i+1, j)
    else:
        return arr[i][j] + min(calculate_path(arr, i, j+1), calculate_path(arr, i+1, j))

这个函数的递归终止条件是到达了数组的右下角，这个时候直接返回该坐标处的数值。

当当前点在最后一行时，只能向右走，所以只需要计算当前点的值，和右边一格的值，再加起来就行。

当当前点在最后一列时，只能向下走，所以只需要计算当前点的值，和下面一格的值，再加起来就行。

其他情况下，我们可以选择向右或向下走，我们需要在这两个路径中选择一个总和较小的路径，并将结果加上当前坐标的值。

由于这个算法是递归的，所以当数组较大时，会出现重复计算的情况，从而导致运行时间较长。所以我们可以使用记忆化搜索的方式来减少重复计算。

记忆化搜索

在递归函数中加入一个存储中间结果的字典，我们可以避免重复计算。如果对于某个坐标，我们曾经计算过其路径数值和，那么我们直接返回该数值即可。

def calculate_path_memo(arr, i, j, memo):
    if (i, j) in memo:
        return memo[(i, j)]
    if i == len(arr) - 1 and j == len(arr[0]) - 1:
        return arr[i][j]
    elif i == len(arr) - 1:
        memo[(i, j)] = arr[i][j] + calculate_path_memo(arr, i, j+1, memo)
    elif j == len(arr[0]) - 1:
        memo[(i, j)] = arr[i][j] + calculate_path_memo(arr, i+1, j, memo)
    else:
        memo[(i, j)] = arr[i][j] + min(calculate_path_memo(arr, i, j+1, memo), calculate_path_memo(arr, i+1, j, memo))
    return memo[(i, j)]

在计算路径的过程中，我们首先查看字典中是否已经计算过该点的数值和。如果计算过了，直接返回该值。

否则，按照递归的方式计算该点的路径数值和，并把它存储到字典中。最后返回该数值即可。

总结

本文介绍了如何计算一个二维数组中从起点到终点的所有路径的数值和。

我们从递归的角度出发，写出了一个求解该问题的递归函数。 但是，这个递归函数在求解大数组时，效率较低，所以我们介绍了如何使用记忆化搜索来优化该算法。

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