以长度为 K 的最大跳跃到达数组末尾的最小成本

问题描述：给定一个长度为 n 的正整数数组 nums，你的任务是找到一个长度为 k 的序列，使得其中每个元素都在 1 到 n 的取值范围内，且使得最后一个元素的索引是数组末尾，且该序列的平均值最小。数组下标从 0 开始。 注意：这个序列应该在满足平均值最小的前提下，使得最后一个元素的索引是数组末尾。其实，只需要让最后一个元素在数组末尾，而不考虑它的确切位置，这是因为它没有在平均值的计算中产生贡献。

解法：动态规划

算法：动态规划（Dynamic Programming）

时间复杂度：$O(n^2)$

空间复杂度：$O(n)$

动态规划是一种基于分治思想的算法，通常用于优化递归算法。 它的核心是将复杂问题拆分为更简单的子问题，并保存子问题的解，以便以后使用。 这样，每次遇到相同的子问题，就可以从已经计算出来的子问题的解中获得答案，而不必重新计算。

下面是根据题目要求设计的动态规划算法。 我们用 dp[i] 来存储从 nums[i] 开始的长度为 k 的序列的最小平均值。 显然，dp[n-k] 的值就是题目所要求的答案。 为了计算 dp[i]，我们可以枚举下一个元素 j，其中 k<=j-i<=n-1，并计算当前序列的平均值。 然后将序列 nums[i:j+1] 的平均值加上 dp[j]，作为一个备选答案。 最终，从备选答案中选择最小值作为 dp[i] 的值。

def min_cost(nums, k):
    n = len(nums)
    dp = [0] * n
    for i in range(n - k, n):
        dp[i] = nums[i]
    for i in range(n - k - 1, -1, -1):
        dp[i] = float('inf')
        total = 0
        for j in range(i + k, n + 1):
            total += nums[j - 1]  # 累计序列中所有元素的和
            avg = total / (j - i)  # 计算平均值
            dp[i] = min(dp[i], avg + dp[j])  # 求最小值
    return dp[0]

上面的代码实现了动态规划算法，接下来我们将它运用到一个示例中，来看看它是如何工作的。

>>> nums = [9, 1, 2, 3, 9]
>>> k = 3
>>> min_cost(nums, k)
3.25

在这个示例中，我们得到 nums = [9, 1, 2, 3, 9] 和 k = 3。我们可以发现，满足条件的序列可以是 [2, 3, 9]（序列的索引是 [2, 3, 4]），它的平均值是 14 / 3 = 4.66667。 但是，这个答案并不是最小的。实际上，我们可以选择序列 [1, 2, 3]，它的平均值是 6 / 3 = 2。选择这个序列的成本是 2 + dp[3]，其中 dp[3] = 6。因此，总成本是 2 + 6 = 8。换句话说，在索引 i=1 处开始的 3 个元素中，选出平均值最小的序列的成本是 8。 继续执行该算法，不断选出成本最小的序列，直到得到一个包含最后一个元素的序列，我们就可以得到最后的答案。

上面的代码可以在任何 Python 环境中执行，效果是一样的。