软件工程 | Schick-Wolverton 软件可靠性模型

先决条件 - Jelinski Moranda 软件可靠性模型
Schick-Wolverton (SW) 模型是对 JM 模型的修改。它与 JM 模型类似，只是它进一步假设自上次调试以来，第 i 个时间间隔的故障率随时间 ti 增加。在模型中，第(i-1)次和第i次失败之间的程序失败率函数可以表示为

    $$$\lambda (t_i)=\phi [N-(i-1)]t_i$$$

在哪里$\phi$和 N 与 JM 模型中定义的相同，并且 ti 是自第 (i-1) 次故障以来的测试时间。

的pdf（概率分布函数） $t_i$可以得到如下：

    $$$f(t_i)=\phi [N-(i-1)]t_ie^{\frac{[N-(i-1)]t_i^2}{2}} \; \; for \;i=1, 2, ..., N$$$

因此，软件可靠性函数为

    $$$R(t_i)=e^{- \int_0^{t_i} \lambda (t_i)dt_i }$$ $$=e^{-\frac{\phi [N-(i-1)]t_i^2}{2}}$$$

我们现在希望估计 N 假设$\phi$给出。使用 MLE 方法，对数似然函数由下式给出，

    $$ln L(N) &=ln\left \{ \prod_{i=1}^nf(t_i)\right \}\\$ $$&=ln\left \{ \prod_{i=1}^n\left [ \phi [N-(i-1)]t_ie^{\frac{[N-(i-1)]t_i^2}{2}\right ]\right \}\\$$ $$&=nln\phi + \sum_{i=1}^nln[N-(i-1)]+\sum_{i=1}^nlnt_i-\sum_{i=1}^n\phi [N-(i-1)]\frac{t_i^2}{2}\\$$ $$$

对 N 取一阶导数，我们有，

    $$$ \frac{\partial}{\partial N}[ln L(N)]=\sum_{i=1}^n \frac{1}{N-(i-1)}-\phi \sum_{i=1}^n \frac{t_i^2}{2}=0 $$$

因此，N 的 MLE 可以通过求解以下方程得到：

    $$$\sum_{i=1}^n \frac{1}{N-(i-1)}= \phi \sum_{i=1}^n \frac{t_i^2}{2}$$$

接下来，我们假设 N 和 ?是未知的。因此我们得到，

    $$$\frac{\partial}{\partial \phi}[ln L(N, \phi )]=\sum_{i=1}^n \frac{1}{N-(i-1)}-\phi \sum_{i=1}^n \frac{t_i^2}{2}=0$$$

和

    $$$\frac{\partial}{\partial \phi}[ln L(N, \phi )]=\frac{n}{\phi }-\sum_{i=1}^n [N-(i-1)]\frac{t_i^2}{2}=0$$$

因此，N 的 MLE 和$\phi$可以通过同时求解两个方程得到如下：

    $$$\phi = 2\sum_{i=1}^n \frac{1}{[N-(i-1)]T}$$ $$N=\frac{2n}{\phi T}+\frac{\sum_{i=1}^n (i-1)t_i^2}{T}$$$

在哪里

    $$$T=\sum_{i=1}^n t_i^2$$$