计算所有递增的子序列

在给定序列中，递增的子序列是指子序列中的元素依次递增的序列。本文将介绍如何计算出所有递增的子序列。

方法一：暴力法

暴力法是最简单的方法，通过枚举所有的子序列并判断是否为递增序列，来计算出所有的递增子序列。

def find_increasing_subsequence(arr):
    n = len(arr)
    res = []
    for i in range(2**n):
        seq = []
        for j in range(n):
            if i & (1 << j):
                seq.append(arr[j])
        if all(seq[i] < seq[i+1] for i in range(len(seq)-1)):
            res.append(seq)
    return res

该算法的时间复杂度为$O(2^n * n)$，空间复杂度为$O(2^n)$。

方法二：动态规划法

动态规划法是基于暴力法的优化，将子问题的解缓存起来避免重复计算。具体来说，若前一个元素 $a_i$ 小于当前元素 $a_j$，则加入当前元素 $a_j$ 的最长上升子序列，等于加入 $a_j$ 前最长上升子序列节点个数加一，即 $dp[j] = max(dp[i]+1, dp[j])$。

def find_increasing_subsequence(arr):
    n = len(arr)
    dp = [1] * n
    for i in range(n):
        for j in range(i):
            if arr[j] < arr[i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)
    max_len = max(dp)
    res = []
    for i in range(n-1, -1, -1):
        if dp[i] == max_len:
            seq = [arr[i]]
            for j in range(i-1, -1, -1):
                if arr[j] < seq[-1] and dp[j] == dp[i]-1:
                    seq.append(arr[j])
            res.append(seq[::-1])
            max_len -= 1
    return res

该算法的时间复杂度为$O(n^2)$，空间复杂度为$O(n)$。

方法三：回溯法

回溯法通过深度优先搜索来查找所有递增子序列。具体来说，将序列中的每个元素都作为起始元素，以此向后查找递增子序列，若比当前路径的最后一个元素大，则加入路径，继续向后查找；若比当前路径的最后一个元素小，则回溯到上一个状态。

def find_increasing_subsequence(arr):
    n = len(arr)
    res = []
    def backtrack(temp, start):
        if len(temp) > 1:
            res.append(temp)
        for i in range(start, n):
            if not temp or arr[i] > temp[-1]:
                backtrack(temp+[arr[i]], i+1)
    backtrack([], 0)
    return res

该算法的时间复杂度为$O(2^n)$，空间复杂度为$O(n)$。

总结

以上三种方法均可用于计算所有递增子序列，具体选择哪种方法取决于数据规模和需求，一般情况下，动态规划法和回溯法较为常用。