最大化N笔交易可能的不同利润的数量

在股票交易中，我们可以通过买入和卖出股票来获得利润。假设有一个数组，其中第i个元素是一支给定股票第i天的价格。如果您只被允许完成最多N笔交易，则设计一个算法以获得最大可能的总利润。注：您不能同时持有多个股票（即在买入另一支股票之前必须先卖出原股票）。

为了解决这个问题，我们可以使用动态规划算法。我们可以使用一个二维数组dp[i][j]表示在第i天进行第j笔交易所赚取的最大利润。其中，j从1到N。

我们可以使用以下递归式进行状态转移：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], prices[i] + maxDiff)

其中maxDiff为当前第i天卖出股票所得到的可能最大利润。maxDiff可以通过以下方式计算：

maxDiff = max(maxDiff, dp[i-1][j-1] - prices[i])

最终的答案则为dp[n][N]，其中n为股票价格数组中元素的个数。

下面是动态规划算法的Python实现：

def maxProfit(prices, N):
    n = len(prices)
    dp = [[0] * (N+1) for _ in range(n+1)]
    
    for j in range(1, N+1):
        maxDiff = -prices[0]
        for i in range(2, n+1):
            maxDiff = max(maxDiff, dp[i-1][j-1] - prices[i-1])
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j], prices[i-1] + maxDiff)
    
    return dp[n][N]

代码中的时间复杂度为$O(nN)$，空间复杂度为$O(nN)$。

我们可以使用以下测试用例来检验算法的正确性：

prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
N = 2
assert maxProfit(prices, N) == 6

prices = [1,2,3,4,5]
N = 3
assert maxProfit(prices, N) == 4

prices = [7,6,4,3,1]
N = 2
assert maxProfit(prices, N) == 0

以上介绍了如何使用动态规划算法解决最大化N笔交易可能的不同利润的数量问题。