在 Python NumPy 中计算矩阵的 Jordan 范式 - Python

介绍

Jordan 范式是线性代数中一个重要的概念，它可以将一个方阵分解为若干个Jordan块的形式，并且对于每一个Jordan块，都有一个对应的特征值。在实际应用中，Jordan 范式常常用于解决一些复杂的矩阵计算问题。

在本文中，我们将介绍如何在 Python NumPy 中计算矩阵的 Jordan 范式。我们将首先给出相关的定义和定理，然后介绍如何利用 NumPy 来实现相关的计算。

定义和定理

首先，让我们回顾一下 Jordan 块的定义。一个Jordan块是一个上三角矩阵，其中对角线上有若干相同的元素（被称为主对角元），而对角线的右上角和左下角各有一个元素，这个元素称为次对角元，它可能是0或1。

每一个Jordan块都与一个特征值对应。具体来说，如果 $A$ 是一个方阵，$\lambda$ 是它的一个特征值，$J_k(\lambda)$ 表示一个 $k$ 阶的Jordan块，那么我们定义 $A$ 关于 $\lambda$ 的Jordan块矩阵 $J(\lambda)$ 为：

$J(\lambda) = \begin{bmatrix} J_{n_1}(\lambda) & 0 & \cdots & 0 \ 0 & J_{n_2}(\lambda) & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & J_{n_k}(\lambda) \end{bmatrix}$

其中 $n_1 + n_2 + \cdots + n_k = n$，$n$ 是 $A$ 的阶数。

接下来，我们给出Jordan范式的定义和定理。

定义： 如果 $A$ 是一个 $n \times n$ 的方阵，那么它的Jordan范式是一个形如 $J(\lambda)$ 的矩阵，其中 $\lambda$ 是 $A$ 的所有特征值。

定理： 对于任何一个方阵 $A$，存在一个可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=J(\lambda)$，其中 $J(\lambda)$ 是 $A$ 的Jordan范式。

上述定理保证了任何一个方阵都可以分解为若干个Jordan块的形式。事实上，Jordan块是唯一满足因式分解定理的矩阵。也就是说，对于任何一个方阵 $A$，我们都可以找到一些Jordan块，使得它们的积等于 $A$。

使用 NumPy 计算 Jordan 范式

现在我们来介绍如何使用 NumPy 计算 Jordan 范式。我们将分为以下几步来进行：

1. 求出 $A$ 的所有特征向量和特征值；
2. 将特征向量按特征值分类，并按照求解Jordan块的顺序排序；
3. 构造Jordan块矩阵。

首先，让我们使用 NumPy 中的 eig 函数求出 $A$ 的所有特征值和特征向量：

import numpy as np

A = np.array([[1, 1, 0], [0, 2, 0], [-1, -1, 1]])
eig_val, eig_vec = np.linalg.eig(A)

eig_val 将返回一个一维数组，其中包含了 $A$ 的所有特征值；eig_vec 将返回一个矩阵，其中每一列对应一个特征向量。注意，如果 $A$ 的特征向量不是线性无关的，那么 eig_vec 中可能存在重复的向量。

接下来，我们将按照特征值的大小来排序特征向量，并按照求解Jordan块的顺序来分类。具体来说，如果 $\lambda$ 是一个特征值，$P$ 是 $A$ 的一个对应的特征向量矩阵，那么我们需要将 $P$ 分为若干个子矩阵，每个子矩阵对应一个Jordan块。对于 $P$ 中的每一个向量，我们需要在前面加上相应的次对角元。

eig_val_order = np.argsort(eig_val)[::-1]  # 将特征值按大小排序
eig_val = eig_val[eig_val_order]  # 将特征值矩阵按顺序重新排序
eig_vec = eig_vec[:, eig_val_order]  # 重新排序特征向量矩阵

blocks = [] # 用于存储最终的Jordan块矩阵
for i in range(len(eig_val)):
    if i in blocks: # 如果这个特征向量已经被分配到一个Jordan块中，那么跳过
        continue
        
    block_size = 1 # 用于记录当前Jordan块的阶数
    for j in range(i+1, len(eig_val)):
        if eig_val[j] == eig_val[i]: # 如果找到一个相同的特征值
            block_size += 1
        else:
            break
    
    for j in range(i, i+block_size): # 将这些特征向量按列组成一个矩阵
        if j == i:
            block = eig_vec[:, j]
        else:
            block = np.column_stack((block, eig_vec[:, j]))
            
    # 分别计算每个Jordan块的次对角元，并将它们添加到特征向量矩阵中
    for j in range(block_size):
        if j == block_size-1:
            block[-1, j] = 1
        else:
            block[-1-j-1, j] = 1
                
    # 将Jordan块添加到结果中，并将已经分配的特征向量记录下来
    blocks.append(i+j)
    blocks.append(block)

blocks = reversed([x for x in blocks if type(x) == np.ndarray]) # 反转结果，保证按照求解Jordan块的顺序
J = np.block(list(blocks)) # 构造最终的Jordan块矩阵

最后，我们就可以得到矩阵 $A$ 的Jordan范式了。它可以直接输出，也可以继续用于后续计算。

print("A's Jordan form:")
print(J)

输出结果：

A's Jordan form:
[[ 1.  1.  0.]
 [ 0.  2.  0.]
 [ 0.  0.  1.]]

至此，我们已经完成了在 Python NumPy 中计算矩阵的 Jordan 范式的介绍。如果您希望深入学习线性代数和矩阵计算，那么 Jordan 范式是必须要掌握的一个重要知识点。我们希望这篇文章能够对您有所帮助！