使长度为 N 的二进制字符串使 0 总是以大小为 K 的组一起出现的方法数

在二进制字符串中，一个“大小为K的组”指的是连续的K个0。问题的目标是找出有多少种不同的方式来创建长度为N的二进制字符串，以便0始终以大小为K的组一起出现。

一个简单的方法是考虑问题的逆，即计算对于每种可能的0的出现顺序，有多少个长度为N的二进制字符串满足条件。然后我们可以用这些频率来计算生成符合条件的字符串的总数。

考虑一个大小为K的组在N位序列中的开始位置。它可以出现在N-K+1个不同的位置上。可以发现，一旦大组的起始位置确定，那么小组的起始位置也有一个确定的限制：每个小组必须从前一个小组的“结尾”位置开始。因此，小组的起始位置的数量可以使用递归方法计算。

具体地，我们可以定义一个函数“countSubstrings”，它计算以特定大小的零开始的子字符串的数量，并递归调用，直到我们到达字符串的尾部。我们可以使用一个动态规划表来存储已经计算的起始位置数量，从而避免重复计算。

代码示例

from typing import List

def countSubstrings(k: int, n: int, memo: List[List[int]]) -> int:
    if k <= 0 or n < 0:
        return 0
    if k > n:
        return 0
    if k == 1:
        return n
    
    if memo[k][n] != -1:
        return memo[k][n]
    
    count = 0
    for i in range(k, n+1):
        count += countSubstrings(k-1, i-k-1, memo)
    memo[k][n] = count
    return count

def countBinaryStrings(n: int, k: int) -> int:
    memo = [[-1 for _ in range(n+1)] for _ in range(k+1)]
    return countSubstrings(k, n, memo)

复杂度分析

此代码的时间复杂度为O(NK^2)，其中N是字符串的长度，K是组的大小。算法使用一个二维数组作为备忘录，因此空间复杂度也为O(NK^2)。注意，实现中的备忘录只存储需要的结果，因此实际使用的空间可能少于这个上界。

总结

计算使长度为N的二进制字符串使0总是以大小为K的组一起出现的方法数可以通过递归计数来解决。我们可以使用备忘录来避免重复计算。时间和空间复杂度是O(N*K^2)。