包含从 1 到子数组长度的数字的数组中的子数组计数

问题描述

给定一个由正整数组成的数组，计算其中有多少个子数组，满足其中的元素包含了从 1 到子数组长度的所有正整数。

示例

输入：[1,2,3,4,5,6] 输出：3 解释：包含 1 到 1 的子数组为 [1]、[2]、[3]、[4]、[5]、[6]；包含 1 到 2 的子数组为 [1,2]、[2,3]、[4,5]、[5,6]；包含 1 到 3 的子数组为 [1,2,3]、[2,3,4]、[3,4,5]、[4,5,6]。因此一共有 3 个子数组满足条件。

解法

我们可以通过枚举子数组的左右端点，来判断该子数组是否满足条件。具体的，对于一个长度为 $n$ 的子数组 $[l,r]$，我们可以检查其中的所有元素是否包含了从 $1$ 到 $r-l+1$ 的所有正整数。因此，该子数组是否满足条件的时间复杂度为 $O(n \log n)$，其中 $\log n$ 来自于快速排序或其他的排序算法。

因为我们需要枚举所有的子数组，因此总的时间复杂度为 $O(n^3\log n)$。

代码

以下为 Python 代码实现：

def count_subarrays(arr: List[int]) -> int:
    n = len(arr)
    cnt = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i, n):
            lst = sorted(arr[i:j+1])
            if all(lst[k] == k + 1 for k in range(len(lst))):
                cnt += 1
    return cnt

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n^3 \log n)$，因为枚举了所有子数组，并对每个子数组进行了排序操作。
• 空间复杂度：$O(n)$，因为需要记录子数组中的元素。