拉格朗日插值介绍

拉格朗日插值是一种常用的插值方法，可以求一个给定的点集上的一个任意函数的近似值，也可以用于数据的光滑化和函数的拟合。本文将向程序员介绍拉格朗日插值的原理及其实现。

原理

拉格朗日插值的本质是通过多个已知点做出一个多项式函数，使得多项式函数在已知点上与待插值函数完全重合。具体的，如果有给定的点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_n, y_n)$，那么拟合出的插值函数 $f(x)$ 就是一个 $n$ 次多项式，它能够满足 $f(x_i) = y_i$， i = 1, 2, ..., n。插值多项式的表达式是：

$$ f(x) = \sum_{i=1}^{n} y_i \cdot L_i(x) $$

其中，$L_i(x)$ 为拉格朗日基函数：

$$ L_i(x) = \prod_{j \neq i} \frac{x-x_j}{x_i-x_j} $$

插值多项式的次数越高，插值函数曲线就越接近原函数曲线，但是插值多项式的次数过高会导致一些问题，比如插值函数可能出现过拟合等。

实现

通过上面的原理，我们已经能够得到插值多项式的表达式了。现在，我们需要通过程序来实现这个函数。下面是使用 Python 语言实现拉格朗日插值的代码：

def lagrange_interpolation(x, y, t):
    """
    Input:
        x: a list of known x points
        y: a list of known y correspoding to x points
        t: The estimation points
    Return:
        Lagrange estimation value
    """
    n = len(x)
    res = []
    for i in range(n):
        numerator, denominator = 1, 1
        for j in range(n):
            if i != j:
                numerator *= (t - x[j])
                denominator *= (x[i] - x[j])
        res.append(y[i] * numerator / denominator)
    return sum(res)

输入参数 x 和 y 分别是已知点的横坐标和纵坐标，t 是需要进行估算的点。函数实现上，我们只需要按照公式计算出每个 $y_i \cdot L_i(x)$ 然后求和即可。

下面是测试代码：

x = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
y = [2.248594881, 1.964430758,  1.022745283, -0.217414926, -1.185463216, -1.095094120, -0.436323946, 0.291006192,  0.497702523,  0.141235853]
t = 7.5

result = lagrange_interpolation(x, y, t)
print("The estimation result is:", result)

运行后输出的结果为：

The estimation result is: -0.23643069268450716

总结

拉格朗日插值法虽然简单，但是运用广泛，常常作为其他算法的基础算法被用于实现。程序员需要掌握拉格朗日插值的原理，以及如何实现这个算法。